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Géométrie repérée - Mathématiques

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Géométrie repérée

lundi 13 février 2017, par David Rodrigues

Géométrie repérée


Coordonnées d’un point

I – Coordonnées d’un point dans un repère

1. Abscisse d’un point sur une droite graduée
Définition  :

On considère une droite graduée (d) d’origine O et d’unité OI.

Pour tout point M appartenant à (d), il existe un unique nombre d (appelé distance à l’origine) tel que \text{OM}=d \times \text{OI}.

On appelle abscisse de M le nombre \left \{  \matrix{ x=d \  \   \text{si } \text{M} \in \text{[OI)}  \cr x=-d \  \   \text{sinon}} \right .

Exercice type

On considère un segment de la droite (d) d’origine O et d’unité OI.
1. Lire l’abscisse des points A et B.
2. Placer les points C(0,5) et D(-4)

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Abscisse d’un point


2. Repère du plan
Définition  :

Soient trois points distincts non alignés O, I et J du plan.

Le triplet (O,I,J) est appelé repère d’origine O du plan.

Le triangle OIJ est non rectangle en O
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Repère oblique
Le repère (O,I,J) est oblique
Le triangle OIJ est isocèle en O
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Repère normé
Le repère (O,I,J) est normé.
Le triangle OIJ est rectangle en O
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Repère orthogonal
Le repère (O,I,J) est orthogonal.
OIJ est rectangle isocèle en O
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Repère orthonormé
Le repère (O,I,J) est orthonormal.


3. Coordonnées d’un point dans un repère
Définition  :

On considère un point M du plan muni d’un repère (O,I,J).

On construit M₁ le projeté de M parallèlement à (OJ) sur (OI), c’est-à-dire l’intersection de (OI) et de la parallèle à (OJ) passant par M. On note x l’abscisse de M₁ sur (OI).

On note M₂ le projeté de M parallèlement à (OI) sur (OJ). On note y l’abscisse de M₂ sur (OJ).

On appelle coordonnées de M dans (O,I,J) le couple de nombres \left( x \mathrm{;} y\right) .

Par convention, on appelle x l’abscisse de M et y l’ordonnée de M dans le repère (O,I,J).

Exercice type

On considère le plan muni d’un repère (O,I,J).
1. Lire les coordonnées de A et B dans le repère (O,I,J).
2. Placer les points C(3 ;-1) et D(-4 ;-2).

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Repérage

Milieu d’un segment

II – Milieu d’un segment

1. Coordonnées du milieu d’un segment
Théorème :

Soit un repère (O,I,J) du plan.

Pour tous points \text{A}\left( x_\text{A} \mathrm{;} y_\text{A}\right) et \text{B}\left( x_\text{B} \mathrm{;} y_\text{B}\right) du plan, le milieu de [AB] a pour coordonnées \left(\frac{x_\text{A}+x_\text{B}}{2} \mathrm{;} \frac{y_\text{A}+y_\text{B}}{2} \right).

Réciproquement le point de coordonnées \left(\frac{x_\text{A}+x_\text{B}}{2} \mathrm{;} \frac{y_\text{A}+y_\text{B}}{2} \right) est le milieu de [AB].

Démonstration :

Voir corrigé du DM2


Exercice type

On considère le plan muni d’un repère (O,I,J).

Soient les points  \text{A} \left({4} \mathrm{;} {-{\frac{5}{2}}} \right) et  \text{B} \left(-{2} \mathrm{;} {\frac{3}{2}} \right).

Calculer les coordonnées du milieu I de [AB].

On calcule les coordonnées de  \text{I} \left(\frac{x_\text{A}+x_\text{B}}{2} \mathrm{;} \frac{y_\text{A}+y_\text{B}}{2} \right).

 \frac{x_\text{A}+x_\text{B}}{2}=\frac{{4}+\left( -{2}\right) }{2}={1} et  \frac{y_\text{A}+y_\text{B}}{2}=\frac{{-{\frac{5}{2}}}+{\frac{3}{2}}}{2}=\frac{-{\frac{2}{2}}}{2}=-{\frac{1}{2}}.

Le milieu de [AB] est  \text{I} \left({1} \mathrm{;} -{\frac{1}{2}} \right).


2. Symétrie centrale
Définition  :

Soient deux points A et O du plan.
On appelle symétrique de A par rapport à O le point B tel que O est le milieu de [AB].

Exercice type

On considère le plan muni d’un repère (O,I,J).

Soient les points  \text{A} \left({4} \mathrm{;} {-{\frac{5}{2}}} \right) et  \text{B} \left(-{2} \mathrm{;} {\frac{3}{2}} \right).

Calculer les coordonnées de C le symétrique de A par rapport à B.


Le point C est tel que B est le milieu de [AC].

Les coordonnées de B sont donc   \left(\frac{x_\text{A}+x_\text{C}}{2} \mathrm{;} \frac{y_\text{A}+y_\text{C}}{2} \right), soit   \left(\frac{{4}+x_\text{C}}{2} \mathrm{;} \frac{-{\frac{5}{2}}+y_\text{C}}{2} \right).

On résout : -{2}=\frac{{4}+x_c}{2}-{4}={4}+x_cx_c=-{8} et \frac{3}{2}=\frac{-{\frac{5}{2}}+y_c}{2}{3}=-{\frac{5}{2}}+y_cyc=\frac{11}{2}.

Le symétrique de A par rapport à B est  \text{C} \left(-{8} \mathrm{;} \frac{11}{2} \right).


Théorème :

On considère le plan muni d’un repère (O,I,J).

Pour tous points \text{A}\left( x_\text{A} \mathrm{;} y_\text{A}\right) et \text{B}\left( x_\text{B} \mathrm{;} y_\text{B}\right) du plan, le symétrique de A par rapport à B a pour coordonnées \left( {2}x_\text{B}-x_\text{A} \mathrm{;} {2}y_\text{B}-y_\text{A}\right) .

Réciproquement, le point de coordonnées \left( {2}x_\text{B}-x_\text{A} \mathrm{;} {2}y_\text{B}-y_\text{A}\right) est le symétrique de A par rapport à B.



3. Caractérisation d’un parallélogramme
Définition  :

Un parallélogramme est un quadrilatère dont les diagonales ont même milieu.

Exercice type

On considère le plan muni d’un repère (O,I,J).

Soient les points \text{A}\left( {1} \mathrm{;} {2}\right) , \text{B}\left( {2} \mathrm{;} -{1}\right) , \text{C}\left( -{2} \mathrm{;} -{2}\right) et \text{D}\left( -{3} \mathrm{;} {1}\right) .

Démontrer que ABCD est un parallélogramme.


Dans le quadrilatère ABCD, les diagonales sont [AC] et [BD].

On calcule les coordonnées de I le milieu de [AC] et de J le milieu de [BD].

 \text{I} \left(\frac{x_\text{A}+x_\text{C}}{2} \mathrm{;} \frac{y_\text{A}+y_\text{C}}{2} \right)  \text{I} \left(\frac{{1}+\left( -{2}\right) }{2} \mathrm{;} \frac{{2}+\left( -{2}\right) }{2} \right)  \text{I} \left(-{\frac{1}{2}} \mathrm{;} {0} \right)

 \text{J} \left(\frac{x_\text{B}+x_\text{D}}{2} \mathrm{;} \frac{y_\text{B}+y_\text{D}}{2} \right)  \text{J} \left(\frac{{2}+\left( -{3}\right) }{2} \mathrm{;} \frac{-{1}+{1}}{2} \right)  \text{J} \left(-{\frac{1}{2}} \mathrm{;} {0} \right)

I et J sont confondus, donc [AC] et [BD] ont même milieu.

Donc ABCD est un parallélogramme.


4. Calculer les coordonnées du 4e sommet d’un parallélogramme


Exercice type

On considère le plan muni d’un repère (O,I,J).

Soient les points \text{A}\left( {2} \mathrm{;} {4}\right) , \text{B}\left( {3} \mathrm{;} -{1}\right) et \text{C}\left( -{1} \mathrm{;} -{3}\right) .

Déterminer les coordonnées du point D tel que ABCD est un parallélogramme.



Dans le quadrilatère ABCD, les diagonales sont [AC] et [BD].

On calcule les coordonnées de I le milieu de [AC].

 \text{I} \left(\frac{x_\text{A}+x_\text{C}}{2} \mathrm{;} \frac{y_\text{A}+y_\text{C}}{2} \right)  \text{I} \left(\frac{{2}+\left( -{1}\right) }{2} \mathrm{;} \frac{{4}+\left( -{3}\right) }{2} \right)  \text{I} \left({\frac{1}{2}} \mathrm{;} {\frac{1}{2}} \right)

ABCD est un parallélogramme, donc [AC] et [BD] ont même milieu.

On calcule les coordonnées de D, le symétrique de B par rapport à I.

\text{D}\left( {2}x_\text{I}-x_\text{B} \mathrm{;} {2}y_\text{I}-y_\text{B}\right)  \text{D} \left({2} \times {\frac{1}{2}}-{3} \mathrm{;} {2} \times {\frac{1}{2}}-\left( -{1}\right)  \right) \text{D}\left( -{2} \mathrm{;} {2}\right)

Le point \text{D}\left( -{2} \mathrm{;} {2}\right) est le 4e sommet du parallélogramme ABCD.


Distance entre deux points

III – Distance entre deux points dans un repère orthonormé

1. Distance entre deux points
Théorème :

Soit un repère orthonormal (O,I,J) du plan.

Pour tous points \text{A}\left( x_\text{A} \mathrm{;} y_\text{A}\right) et \text{B}\left( x_\text{B} \mathrm{;} y_\text{B}\right) , la distance AB est  \sqrt {\left( x_\text{B}-x_\text{A}\right) ^{2}+\left( y_\text{B}-y_\text{A}\right) ^{2}}.

Cette distance est exprimée en unité graphique de longueur (elle dépend de l’unité du repère).

2. Appartenance à un cercle


Exercice type


On considère le plan muni d’un repère orthonormal (O,I,J).

Soient les points \text{A}\left( {5} \mathrm{;} -{2}\right) , \text{B}\left( {6} \mathrm{;} {5}\right) , \text{C}\left( -{3} \mathrm{;} {2}\right) et \text{G}\left( {2} \mathrm{;} {2}\right) .

Montrer que G est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC.



Le repère (O,I,J) est orthonormal. On peut donc calculer les distances.

On calcule :

\text{GA}= \sqrt {\left( x_\text{A}-x_\text{G}\right) ^{2}+\left( y_\text{A}-y_\text{G}\right) ^{2}}= \sqrt {\left( {5}-{2}\right) ^{2}+\left( -{2}-{2}\right) ^{2}}= \sqrt {{3}^{2}+\left( -{4}\right) ^{2}}= \sqrt {{9}+{16}}= \sqrt {25}={5}

\text{GB}= \sqrt {\left( x_\text{B}-x_\text{G}\right) ^{2}+\left( y_\text{B}-y_\text{G}\right) ^{2}}= \sqrt {\left( {6}-{2}\right) ^{2}+\left( {5}-{2}\right) ^{2}}= \sqrt {{4}^{2}+{3}^{2}}={5}

\text{GC}= \sqrt {\left( x_\text{C}-x_\text{G}\right) ^{2}+\left( y_\text{C}-y_\text{G}\right) ^{2}}= \sqrt {\left( -{3}-{2}\right) ^{2}+\left( {2}-{2}\right) ^{2}}= \sqrt {\left( -{5}\right) ^{2}}={5}

Les points A, B et C sont équidistants de G. Donc G est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC.


3. Caractériser un triangle particulier


Exercice type


On considère le plan muni d’un repère orthonormal (O,I,J).

Soient les points \text{A}\left( {5} \mathrm{;} -{2}\right) , \text{B}\left( {6} \mathrm{;} {5}\right) et \text{C}\left( -{1} \mathrm{;} {6}\right) .

Déterminer la nature exacte du triangle ABC.



Le triangle ABC semble rectangle en B.

Le repère (O,I,J) est orthonormal. On peut donc calculer les distances.

On calcule :

\text{AB}= \sqrt {\left( x_\text{B}-x_\text{A}\right) ^{2}+\left( y_\text{B}-y_\text{A}\right) ^{2}}= \sqrt {\left( {6}-{5}\right) ^{2}+\left( {5}-\left( -{2}\right) \right) ^{2}}= \sqrt {{1}^{2}+{7}^{2}}= \sqrt {50}={5} \sqrt {2}.

\text{AC}= \sqrt {\left( x_\text{C}-x_\text{A}\right) ^{2}+\left( y_\text{C}-y_\text{A}\right) ^{2}}= \sqrt {\left( -{1}-{5}\right) ^{2}+\left( {6}-\left( -{2}\right) \right) ^{2}}= \sqrt {\left( -{6}\right) ^{2}+{8}^{2}}= \sqrt {100}={10}.

\text{BC}= \sqrt {\left( x_\text{C}-x_\text{B}\right) ^{2}+\left( y_\text{C}-y_\text{B}\right) ^{2}}= \sqrt {\left( -{1}-{6}\right) ^{2}+\left( {6}-{5}\right) ^{2}}= \sqrt {\left( -{7}\right) ^{2}+{1}^{2}}= \sqrt {50}={5} \sqrt {2}.

Les côtés AB et BC ont même longueur, donc le triangle ABC est isocèle en B.

Les longueurs des côtés vérifient \text{AC}^{2}=\text{AB}^{2}+\text{BC}^{2}. D’après le théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en B.

Alors le triangle ABC est rectangle isocèle en B.


4. Caractériser un parallélogramme particulier


Exercice type


On considère le plan muni d’un repère orthonormal (O,I,J).

Soient les points \text{A}\left( {5} \mathrm{;} -{2}\right) , \text{B}\left( {6} \mathrm{;} {5}\right) , \text{C}\left( -{1} \mathrm{;} {6}\right) et \text{D}\left( -{2} \mathrm{;} -{1}\right) .

Déterminer la nature exacte du quadrilatère ABCD.



Le quadrilatère ABCD semble être un carré.

Les diagonales du quadrilatère ABCD sont [AC] et [BD].

On détermine les coordonnées du milieu I de [AC] et du milieu J de [BD].

 \text{I} \left(\frac{x_\text{A}+x_\text{C}}{2} \mathrm{;} \frac{y_\text{A}+y_\text{C}}{2} \right)  \text{J} \left(\frac{x_\text{B}+x_\text{D}}{2} \mathrm{;} \frac{y_\text{B}+y_\text{D}}{2} \right)

 \text{I} \left(\frac{{5}+\left( -{1}\right) }{2} \mathrm{;} \frac{-{2}+{6}}{2} \right)  \text{J} \left(\frac{{6}+\left( -{2}\right) }{2} \mathrm{;} \frac{{5}+\left( -{1}\right) }{2} \right)

\text{I}\left( {2} \mathrm{;} {2}\right) \text{J}\left( {2} \mathrm{;} {2}\right)

Les diagonales de ABCD ont même milieu, donc ABCD est un parallélogramme.

Le repère (O,I,J) est orthonormal. On peut donc calculer les distances.

On calcule les longueurs des côtés du parallélogramme :

\text{AB}= \sqrt {\left( x_\text{B}-x_\text{A}\right) ^{2}+\left( y_\text{B}-y_\text{A}\right) ^{2}}= \sqrt {\left( {6}-{5}\right) ^{2}+\left( {5}-\left( -{2}\right) \right) ^{2}}= \sqrt {{1}^{2}+{7}^{2}}= \sqrt {50}={5} \sqrt {2}.

\text{BC}= \sqrt {\left( x_\text{C}-x_\text{B}\right) ^{2}+\left( y_\text{C}-y_\text{B}\right) ^{2}}= \sqrt {\left( -{1}-{6}\right) ^{2}+\left( {6}-{5}\right) ^{2}}= \sqrt {\left( -{7}\right) ^{2}+{1}^{2}}= \sqrt {50}={5} \sqrt {2}.

Dans le parallélogramme ABCD, les côtés [AB] et [BC] ont même longueur, donc ABCD est un losange.

On calcule les longueurs des diagonales

\text{AC}= \sqrt {\left( x_\text{C}-x_\text{A}\right) ^{2}+\left( y_\text{C}-y_\text{A}\right) ^{2}}= \sqrt {\left( -{1}-{5}\right) ^{2}+\left( {6}-\left( -{2}\right) \right) ^{2}}= \sqrt {\left( -{6}\right) ^{2}+{8}^{2}}= \sqrt {100}={10}.

\text{BD}= \sqrt {\left( x_\text{D}-x_\text{B}\right) ^{2}+\left( y_\text{D}-y_\text{B}\right) ^{2}}=srqt{\left( -{2}-{6}\right) ^{2}+\left( -{1}-{5}\right) ^{2}}= \sqrt {{8}^{2}+\left( -{6}\right) ^{2}}= \sqrt {100}={10}.

Dans le parallélogramme ABCD, les diagonales [AC] et [BD] ont même longueur, donc ABCD est un rectangle.

ABCD est à la fois un losange et un rectangle, donc ABCD est un carré.



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