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Opérations sur les nombres décimaux - Mathématiques

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Opérations sur les nombres décimaux

samedi 18 février 2017, par David Rodrigues

Opérations sur les nombres décimaux


Enchaînements d’opérations

I – Enchaînement d’opérations

1. Expressions sans parenthèses
Propriétés :

Commutativité de l’addition : pour tous les nombres $a$ et $b$, on a : $a+b=b+a$.

Associativité de l’addition : pour tous les nombres $a$, $b$ et $c$, on a $\left( a+b\right) +c=a+\left( b+c\right) =a+b+c$.

Commutativité de la multiplication : pour tous les nombres $a$ et $b$, on a : $a \times b=b \times a$.

Associativité de la multiplication : pour tous les nombres $a$, $b$ et $c$, on a : $a \times \left( b \times c\right) =\left( a \times b\right) \times c=a \times b \times c$.

Conséquence : dans une expression sans parenthèses ne contenant que des additions (ou que des multiplications), on peut changer l’ordre des termes (ou des facteurs) et effectuer les calculs l’ordre que l’on veut.

Exemples :
- $\text{A}={5}+{2,1}+{6}+{7,9} $
$\ \ ={5}+{6}+{2,1}+{7,9}$ Commutativité
$\ \ ={11}+{10}$ Associativité
$\ \ ={21}$
- $\text{B}={4} \times {85} \times {25} \times {10} $
$\ \ ={4} \times {25} \times {85} \times {10}$ Commutativité
$\ \ = {100} \times {850} $ Associativité
$\ \ ={85000}$


Propriété :

Dans une expression sans parenthèses, la multiplication a priorité sur l’addition et la soustraction.


Exemples :
- $\text{A}={5}+{3} \times {2} $
$ \ \ = {5}+{6} $
$ \ \ ={11}$
- $\text{B}={4} \times {40}-{10} \times {2} $
$\ \ ={160}-{20} $
$\ \ ={140}$


2. Expressions avec parenthèses

Il est parfois nécessaire de forcer une priorité par l’utilisation de parenthèses.


Propriété :

Dans une expression avec parenthèses, les parenthèses ont priorité sur les autres opérations.


Exemples :
- $\text{A}={300}+{14}+\left( {8}+{2}\right) \times {5} $
$\ \ ={300}+{14}+\left( {10}\right) \times {5} $
$\ \ ={300}+{14}+{10} \times {5} $
$\ \ ={300}+{14}+{50} $
$\ \ ={314}+{50} $
$\ \ ={364}$
- $\text{B}={50}-[{8}+\left( {3}-{1}\right) \times {2}] $
$\ \ ={50}-[{8}+\left( {2}\right) \times {2}] $
$\ \ ={50}-[{8}+{2} \times {2}] $
$\ \ ={50}-[{8}+{4}] $
$\ \ ={50}-{12} $
$\ \ ={38}$



3. Fractions, divisions


Notations : Les symboles / ou : ou $\ \div\ $ ou $\frac{\ }{\ }$ servent à exprimer une division.

Propriété :

Quand une division est présentée sous forme fractionnaire, une opération au numérateur ou au dénominateur est prioritaire sur la division.


Exemples :

$ \text{A}=\frac{{2}+{3}}{{3}-{1}}$
$\ =\left( {2}+{3}\right) \div\left( {3}-{1}\right) $
$\ ={5}\div{2}$
$\ ={2,5}$

$ \text{B}=\frac{100}{{2}+{3}}$
$\ ={100}\div\left( {2}+{3}\right) $
$\ ={100}\div{5}$
$\ ={20}$

$ \text{C}={100}\div{2}+{3}$
$\ =\frac{100}{2}+{3} ou {100}\div{2}+{3}$
$\ ={50}+{3}$
$\ ={53}$

$ \text{D}={50}-\frac{100}{2}$
$\ ={50}-\frac{100}{2}$
$\ ={50}-{50}$
$\ ={0}$


Propriété :

Dans une expression sans parenthèses, la division a priorité sur l’addition et la soustraction.



Distributivité

II – Distributivité

1. Distributivité de la multiplication sur l’addition et la soustraction
Propriété de distributivité :

Quels que soient les nombres $k$, $a$ et $b$, on a : $k \times \left( a+b\right) =k \times a+k \times b$ et $k \times \left( a-b\right) =k \times a-k \times b$ (distributivité à droite)

On a aussi : $\left( a+b\right) \times k=a \times k+b \times k$ et $\left( a-b\right) \times k=a \times k-b \times k$ (distributivité à gauche)

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