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Fractions et Arithmétique - Mathématiques

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Fractions et Arithmétique

mardi 14 mars 2017, par David Rodrigues

Fractions et Arithmétique


Nombres rationnels

I – Quotients et nombres rationnels

1. Quotient de deux nombres
Définition :

Quels que soient les nombres a et b (avec b \neq{0}) quotient \frac{a}{b} est le nombre qui, multiplié par b donne a.


Exemples :

- Le nombre \frac{3}{7} est le quotient de {3} par {7} car {\frac{3}{7}} \times {7}={3}.
- Le nombre \frac{2,5}{3,4} est le quotient de 2,5 par 3,4 car {\frac{2,5}{3,4}} \times {3,4}={2,5}


Remarque : La définition d’un quotient permet de comprendre l’impossibilité mathématique de la multiplication par 0.


2. Nombres rationnels et fractions
Définitions :

On considère un nombre entier relatif a et un nombre entier positif b.

On appelle nombre rationnel tout nombre pouvant s’écrire sous la forme \frac{a}{b}.

On appelle fraction toute écriture d’un nombre sous cette forme.


Exemples :
- Le nombre \frac{3}{7} est rationnel ; \frac{3}{7} est une fraction.
- Le nombre \frac{-{7}}{5} =-{\frac{7}{5}} est rationnel ; -{\frac{7}{5}} est une fraction.
- Le nombre \frac{0,5}{4} est rationnel car il peut s’écrire \frac{1}{8} ; \frac{0,5}{4} n’est pas une fraction.
- Le nombre {2,5} est rationnel car il peut s’écrire \frac{25}{10} ; {2,5} n’est pas une fraction.
- Le nombre \pi n’est pas rationnel et n’est pas une fraction.


Théorème admis :

Si un nombre est rationnel, alors son développement décimal est périodique à partir d’un certain rang.

Réciproquement, si le développement décimal d’un nombre est périodique à partir d’un certain rang, alors ce nombre est rationnel.


Exemples :

- Une écriture à virgule de \frac{9}{7} est {1,285714285714}….
- Le nombre \text{A}={0,20172017}… a un développement décimal périodique. Il est donc rationnel ;
- On observe que {10000} \times \text{A}={2017,20172017}…={2017}+\text{A}.
- Alors {9999} \times \text{A}={2017}et donc  \text{A}=\frac{2017}{9999}.

Simplifier une fraction

II – Simplifier une fraction

Définition :

Simplifier une fraction \frac{a}{b}}, c’est déterminer une fraction égale à \frac{a}{b} dont le dénominateur est inférieur à b.


1. Simplifier une fraction par division
Définition :

On considère deux entiers a et b.

On dit que a est multiple de b (ou que b est un diviseur de a) quand il existe un entier k tel que a=k \times b.


Méthode de simplification.

- Déterminer un diviseur commun au numérateur et au dénominateur de la fraction.

- Diviser le numérateur et le dénominateur de la fraction par ce diviseur commun.


Exemples :
- On simplifie la fraction \frac{256}{72}.
- 256 et 72 sont deux nombres pairs (multiples de 2) : {\frac{256}{72}}=\frac{{2} \times {128}}{{2} \times {36}}=\frac{128}{36} .
- On simplifie la fraction \frac{7}{35}.
- 7 et 35 sont deux multiples de 7 : {\frac{7}{35}}=\frac{{7} \times {1}}{{7} \times {5}}={\frac{1}{5}}.



2. Déterminer le PGCD de deux nombres
Définition :

On considère deux entiers a et b.

On note \text{PGCD}\left( a \mathrm{;} b\right) le plus grand diviseur commun à a et b.


Propriété :

On considère 2 nombres entiers naturels a et b tels que a<b.

Si c=\text{PGCD}\left( a \mathrm{;} b\right) , alors c=\text{PGCD}\left( a \mathrm{;} b-a\right)


Démonstration :

Si c=\text{PGCD}\left( a \mathrm{;} b\right) , il existe un entier k tel que a=kc et un entier l tel que b=lc.

Puisque c=\text{PGCD}\left( a \mathrm{;} b\right) , k et l n’ont pas de diviseur commun.

Alors b-a=lc-kc=c\left( l-k\right) donc c divise b-a.


Algorithme de détermination du PGCD de 2 nombres par soustractions successives.

- Calculer la différence entre les 2 nombres.

- Tant que la différence n’est pas nulle :

- Calculer la différence entre le plus petit des nombres précédents et la différence calculée.

Le PGCD est le dernier terme soustrait.


Exemples :

- On détermine le \text{PGCD}\left( {56} \mathrm{;} {16}\right) .
-  {56}-{16}={40}
 {40}-{16}={24}
 {24}-{16}={8}
{16}-{8}={8}
{8}-{8}={0}
{PGCD}\left( {56} \mathrm{;} {16}\right) ={8}

- On détermine le \text{PGCD}\left( {84} \mathrm{;} {22}\right) .
-  {84}-{22}={62}
{62}-{22}={40}
{40}-{22}={18}
{22}-{18}={4}
{18}-{4}={14}
{14}-{4}={10}
{10}-{4}={6}
{6}-{4}={2}
{4}-{2}={2}
{2}-{2}={0}
\text{PGCD}\left( {84} \mathrm{;} {22}\right) ={2}


Propriété :

On considère 2 nombres entiers naturels a et b tels que a<b. Soit r le reste de la division euclidienne de b par a.

Si c=\text{PGCD}\left( a \mathrm{;} b\right) , alors c=\text{PGCD}\left( a \mathrm{;} r\right) .


Démonstration :

Si r est le reste de la division euclidienne de b par a, il existe un entier q tel que : b=a \times q+r (division euclidienne).

Si c=\text{PGCD}\left( a \mathrm{;} b\right) , il existe un entier k tel que a=kc et un entier l tel que b=lc.

Puisque c=\text{PGCD}\left( a \mathrm{;} b\right) , k et l n’ont pas de diviseur commun.

Donc lc=kc \times q+r. On en déduit r=lc-kcq =c\left( l-kq\right) . Donc c divise r.


Algorithme de détermination du PGCD de 2 nombres par divisions successives (algorithme d’Euclide).
- Calculer le reste de la division euclidienne d’un nombre par l’autre.
- Tant que le reste n’est pas n’est pas nul :
- Calculer le reste de la division euclidienne du plus petit des nombres précédents et le reste calculé.
Le PGCD est le dernier diviseur utilisé.


Exemples :
- On détermine le \text{PGCD}\left( {56} \mathrm{;} {16}\right) .
-  {56}={16} \times {3}+{8}
{16}={8} \times {2}+{0}
\text{PGCD}\left( {56} \mathrm{;} {16}\right) ={8}

- On détermine le \text{PGCD}\left( {84} \mathrm{;} {22}\right) .
-  {84}={22} \times {3}+{18}
{22}={18} \times {1}+{4}
{18}={4} \times {4}+{2}
{4}={2} \times {2}+{0}
  \text{PGCD}\left( {84} \mathrm{;} {22}\right) ={2}



Exercice type :

Un fleuriste reçoit 312 roses et 252 tulipes qu’il veut répartir intégralement dans le plus grand nombre possible de bouquets identiques.
Combien de bouquets peut-il réaliser et quelle est leur composition ?


Le plus grand nombre possible de bouquets est le PGCD de 312 et 252.

On détermine :  \text{PGCD}\left( {312} \mathrm{;} {252}\right) =\text{PGCD}\left( {252} \mathrm{;} {60}\right)
  \  \  \  \  \  \  \  \  \  \  \  \  \  \  \  \  \  \   =\text{PGCD}\left( {60} \mathrm{;} {12}\right)
  \  \  \  \  \  \  \  \  \  \  \  \  \  \  \  \  \  \   ={12}.

Le nombre maximum de bouquets est 12.

Le nombre de roses dans chaque bouquet est : \frac{312}{12}={26}.

Le nombre de tulipes dans chaque bouquet est : \frac{252}{12}={21}.


3. Fraction irréductible
Définition :
Deux nombres premiers entre eux sont des nombres dont le seul diviseur commun est 1.


Exemples :

  • Les diviseurs de 24 sont 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 et 24 et les diviseurs de 35 sont 1, 5, 7 et 35. 24 et 35 sont premiers entre eux.
  • Les diviseurs de 12 sont 1, 2, 3, 4, 6 et 12 et les diviseurs de 21 sont 1, 3, 7 et 21. 12 et 18 ne sont pas premiers entre eux car 3 est un diviseur commun.


Définition :
Une fraction irréductible est une fraction dont numérateur et dénominateur sont premiers entre eux.


4. Simplifier une fraction par décomposition
Méthode de simplification.
- Écrire numérateur et dénominateur sous forme de produit de nombres premiers
- Simplifier la fraction par les facteurs communs au numérateur et au dénominateur.


Définition :
On appelle nombre premier tout nombre possédant exactement 2 diviseurs : 1 et lui-même.


Remarque : 1 n’est pas un nombre premier car il n’a qu’un diviseur.


Exemples :
- On simplifie la fraction \frac{26}{44} : {\frac{26}{44}}=\frac{{2} \times {13}}{{2} \times {2} \times {11}}={\frac{13}{22}}.
- On simplifie la fraction \frac{36}{30} : {\frac{36}{30}}=\frac{{2} \times {2} \times {3} \times {3}}{{2} \times {3} \times {5}}=\frac{6}{5}.

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