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Fractions et Arithmétique - Mathématiques

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Fractions et Arithmétique

mardi 14 mars 2017, par David Rodrigues

Fractions et Arithmétique


Nombres rationnels

I – Quotients et nombres rationnels

1. Quotient de deux nombres
Définition :

Quels que soient les nombres $a$ et $b$ (avec $b \neq{0}$) quotient $\frac{a}{b} $ est le nombre qui, multiplié par $b$ donne $a$.


Exemples :

- Le nombre $\frac{3}{7}$ est le quotient de ${3}$ par ${7}$ car ${\frac{3}{7}} \times {7}={3}$.
- Le nombre $\frac{2,5}{3,4}$ est le quotient de 2,5 par 3,4 car ${\frac{2,5}{3,4}} \times {3,4}={2,5}$


Remarque : La définition d’un quotient permet de comprendre l’impossibilité mathématique de la multiplication par 0.


2. Nombres rationnels et fractions
Définitions :

On considère un nombre entier relatif $a$ et un nombre entier positif $b$.

On appelle nombre rationnel tout nombre pouvant s’écrire sous la forme $\frac{a}{b}$.

On appelle fraction toute écriture d’un nombre sous cette forme.


Exemples :
- Le nombre $\frac{3}{7}$ est rationnel ; $\frac{3}{7}$ est une fraction.
- Le nombre $\frac{-{7}}{5} =-{\frac{7}{5}}$ est rationnel ; $-{\frac{7}{5}}$ est une fraction.
- Le nombre $\frac{0,5}{4}$ est rationnel car il peut s’écrire $\frac{1}{8}$ ; $\frac{0,5}{4}$ n’est pas une fraction.
- Le nombre ${2,5}$ est rationnel car il peut s’écrire $\frac{25}{10}$ ; ${2,5}$ n’est pas une fraction.
- Le nombre $\pi$ n’est pas rationnel et n’est pas une fraction.


Théorème admis :

Si un nombre est rationnel, alors son développement décimal est périodique à partir d’un certain rang.

Réciproquement, si le développement décimal d’un nombre est périodique à partir d’un certain rang, alors ce nombre est rationnel.


Exemples :

- Une écriture à virgule de $\frac{9}{7}$ est ${1,285714285714}…$.
- Le nombre $\text{A}={0,20172017}…$ a un développement décimal périodique. Il est donc rationnel ;
- On observe que ${10000} \times \text{A}={2017,20172017}…={2017}+\text{A}$.
- Alors ${9999} \times \text{A}={2017}$et donc $ \text{A}=\frac{2017}{9999}$.

Simplifier une fraction

II – Simplifier une fraction

Définition :

Simplifier une fraction $\frac{a}{b}}$, c’est déterminer une fraction égale à $\frac{a}{b}$ dont le dénominateur est inférieur à $b$.


1. Simplifier une fraction par division
Définition :

On considère deux entiers $a$ et $b$.

On dit que $a$ est multiple de $b$ (ou que $b$ est un diviseur de $a$) quand il existe un entier $k$ tel que $a=k \times b$.


Méthode de simplification.

- Déterminer un diviseur commun au numérateur et au dénominateur de la fraction.

- Diviser le numérateur et le dénominateur de la fraction par ce diviseur commun.


Exemples :
- On simplifie la fraction $\frac{256}{72}$.
- 256 et 72 sont deux nombres pairs (multiples de 2) : ${\frac{256}{72}}=\frac{{2} \times {128}}{{2} \times {36}}=\frac{128}{36}$ .
- On simplifie la fraction $\frac{7}{35}$.
- 7 et 35 sont deux multiples de 7 : ${\frac{7}{35}}=\frac{{7} \times {1}}{{7} \times {5}}={\frac{1}{5}}$.



2. Déterminer le PGCD de deux nombres
Définition :

On considère deux entiers $a$ et $b$.

On note $\text{PGCD}\left( a \mathrm{;} b\right) $ le plus grand diviseur commun à $a$ et $b$.


Propriété :

On considère 2 nombres entiers naturels $a$ et $b$ tels que $a

Si $c=\text{PGCD}\left( a \mathrm{;} b\right) $, alors $c=\text{PGCD}\left( a \mathrm{;} b-a\right) $


Démonstration :

Si $c=\text{PGCD}\left( a \mathrm{;} b\right) $, il existe un entier $k$ tel que $a=kc$ et un entier $l$ tel que $b=lc$.

Puisque $c=\text{PGCD}\left( a \mathrm{;} b\right) $, $k$ et $l$ n’ont pas de diviseur commun.

Alors $b-a=lc-kc=c\left( l-k\right) $ donc $c$ divise $b-a$.


Algorithme de détermination du PGCD de 2 nombres par soustractions successives.

- Calculer la différence entre les 2 nombres.

- Tant que la différence n’est pas nulle :

- Calculer la différence entre le plus petit des nombres précédents et la différence calculée.

Le PGCD est le dernier terme soustrait.


Exemples :

- On détermine le $\text{PGCD}\left( {56} \mathrm{;} {16}\right) $.
- $ {56}-{16}={40} $
$ {40}-{16}={24} $
$ {24}-{16}={8} $
${16}-{8}={8} $
${8}-{8}={0} $
${PGCD}\left( {56} \mathrm{;} {16}\right) ={8}$

- On détermine le $\text{PGCD}\left( {84} \mathrm{;} {22}\right) $.
- $ {84}-{22}={62} $
${62}-{22}={40} $
${40}-{22}={18} $
${22}-{18}={4} $
${18}-{4}={14} $
${14}-{4}={10} $
${10}-{4}={6} $
${6}-{4}={2} $
${4}-{2}={2} $
${2}-{2}={0} $
$\text{PGCD}\left( {84} \mathrm{;} {22}\right) ={2}$


Propriété :

On considère 2 nombres entiers naturels $a$ et $b$ tels que $a

Si $c=\text{PGCD}\left( a \mathrm{;} b\right) $, alors $c=\text{PGCD}\left( a \mathrm{;} r\right) $.


Démonstration :

Si $r$ est le reste de la division euclidienne de $b$ par $a$, il existe un entier $q$ tel que : $b=a \times q+r$ (division euclidienne).

Si $c=\text{PGCD}\left( a \mathrm{;} b\right) $, il existe un entier $k$ tel que $a=kc$ et un entier $l$ tel que $b=lc$.

Puisque $c=\text{PGCD}\left( a \mathrm{;} b\right) $, $k$ et $l$ n’ont pas de diviseur commun.

Donc $lc=kc \times q+r$. On en déduit $r=lc-kcq =c\left( l-kq\right) $. Donc $c$ divise $r$.


Algorithme de détermination du PGCD de 2 nombres par divisions successives (algorithme d’Euclide).
- Calculer le reste de la division euclidienne d’un nombre par l’autre.
- Tant que le reste n’est pas n’est pas nul :
- Calculer le reste de la division euclidienne du plus petit des nombres précédents et le reste calculé.
Le PGCD est le dernier diviseur utilisé.


Exemples :
- On détermine le $\text{PGCD}\left( {56} \mathrm{;} {16}\right) $.
- $ {56}={16} \times {3}+{8} $
${16}={8} \times {2}+{0} $
$\text{PGCD}\left( {56} \mathrm{;} {16}\right) ={8}$

- On détermine le $\text{PGCD}\left( {84} \mathrm{;} {22}\right) $.
- $ {84}={22} \times {3}+{18} $
${22}={18} \times {1}+{4} $
${18}={4} \times {4}+{2} $
${4}={2} \times {2}+{0} $
$ \text{PGCD}\left( {84} \mathrm{;} {22}\right) ={2}$



Exercice type :

Un fleuriste reçoit 312 roses et 252 tulipes qu’il veut répartir intégralement dans le plus grand nombre possible de bouquets identiques.
Combien de bouquets peut-il réaliser et quelle est leur composition ?


Le plus grand nombre possible de bouquets est le PGCD de 312 et 252.

On détermine : $ \text{PGCD}\left( {312} \mathrm{;} {252}\right) =\text{PGCD}\left( {252} \mathrm{;} {60}\right) $
$ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\text{PGCD}\left( {60} \mathrm{;} {12}\right) $
$ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ={12}$.

Le nombre maximum de bouquets est 12.

Le nombre de roses dans chaque bouquet est : $\frac{312}{12}={26}$.

Le nombre de tulipes dans chaque bouquet est : $\frac{252}{12}={21}$.


3. Fraction irréductible
Définition :
Deux nombres premiers entre eux sont des nombres dont le seul diviseur commun est 1.


Exemples :

  • Les diviseurs de 24 sont 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 et 24 et les diviseurs de 35 sont 1, 5, 7 et 35. 24 et 35 sont premiers entre eux.
  • Les diviseurs de 12 sont 1, 2, 3, 4, 6 et 12 et les diviseurs de 21 sont 1, 3, 7 et 21. 12 et 18 ne sont pas premiers entre eux car 3 est un diviseur commun.


Définition :
Une fraction irréductible est une fraction dont numérateur et dénominateur sont premiers entre eux.


4. Simplifier une fraction par décomposition
Méthode de simplification.
- Écrire numérateur et dénominateur sous forme de produit de nombres premiers
- Simplifier la fraction par les facteurs communs au numérateur et au dénominateur.


Définition :
On appelle nombre premier tout nombre possédant exactement 2 diviseurs : 1 et lui-même.


Remarque : 1 n’est pas un nombre premier car il n’a qu’un diviseur.


Exemples :
- On simplifie la fraction $\frac{26}{44}$ : ${\frac{26}{44}}=\frac{{2} \times {13}}{{2} \times {2} \times {11}}={\frac{13}{22}}$.
- On simplifie la fraction $\frac{36}{30}$ : ${\frac{36}{30}}=\frac{{2} \times {2} \times {3} \times {3}}{{2} \times {3} \times {5}}=\frac{6}{5}$.

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