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Fonctions numériques - Mathématiques

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Fonctions numériques

dimanche 9 avril 2017, par David Rodrigues

Fonctions numériques


Définitions et vocabulaire

I – Définitions et vocabulaire

1. Définir une fonction numérique
Définition :

Définir une fonction f sur un ensemble de nombres D, c’est associer à chaque nombre x appartenant à D un unique nombre réel y qu’on note $f\left( x\right) $.

On note $f : \left \{ \matrix{ D & \rightarrow & \mathbb{R} \cr x & \mapsto & f\left( x\right) } \right . $

On dit alors que f est une fonction de la variable x .

D est appelé l’ensemble de définition de f . (D est l’ensemble des nombres qui ont une image par f ).


Exemple : Voir l’activité de recherche

On considère la fonction a, qui associe à la longueur p =DA (en m) l’aire de baignade déterminée (en m²).

$a : \left \{ \matrix{ [0;80] & \rightarrow & \mathbb{R} \cr p & \mapsto & p\left( {160}-{2}p\right) } \right . $

a est définie sur [0 ;80] par l’expression $a\left( p\right) =p\left( {160}-{2}p\right) $

a est définie sur [0 ;80] par l’expression $a : { p } \mapsto p\left( {160}-{2}p\right) $


2. Vocabulaire
Définitions :
Soit a et b deux nombres réels.

Si a ∈ d et $f\left( a\right) =b$, on dit que b est l’image de a par f et que a est un antécédent de b par f .


Exemple :

Soit f une fonction telle que $ f  : 3 \mapsto 6$.

6 est l’image de 3 par f
3 est antécédent de 6 par f
3 a pour image 6 par f
6 a pour antécédent 3 par f



Expression algébrique

II – Fonction définie par une expression algébrique


Exercice type

1. Soit la fonction g définie sur ℝ par : $g\left( t\right) ={3}t^{2}-{5}+t$.

Déterminer l’image de $ \sqrt {3}$ par g .

On calcule $g\left( \sqrt {3}\right) $ .

$ {g\left( \sqrt {3}\right) ={3} \times \left( \sqrt {3}\right) ^{2}-{5}+ \sqrt {3}} $
${\ \ \ \ \ \ \ ={3} \times {3}-{5}+ \sqrt {3}} $
${\ \ \ \ \ \ \ =4+ \sqrt {3}}$

L’image de $ \sqrt {3}$ par g est ${4}+ \sqrt {3}$ .


2. Soit la fonction h définie sur ℝ par : $h\left( x\right) =-{\frac{7}{5}}x+{\frac{3}{2}}$.

Déterminer les antécédents éventuels de $\frac{3}{4}$ par h .

On résout l’équation : $h\left( x\right) =\frac{3}{4}$ .

$-{\frac{7}{5}}x+{\frac{3}{2}}={\frac{3}{4}}$

$⇔ -{\frac{7}{5}}x=\frac{3}{4}-\frac{3}{2}$

$⇔ -{\frac{7}{5}}=\frac{3}{4}-\frac{6}{4}$

$⇔ -{\frac{7}{5}}x=-{\frac{3}{4}}$

$⇔ x={-\frac{\frac{3}{4}}{-{\frac{7}{5}}}}$

$⇔ x=-{\frac{3}{4}} \times \left(-{\frac{5}{7}} \right)$

$⇔ x={\frac{15}{28}}$

L’antécédent de ${\frac{3}{4}}$ par h est $\frac{15}{28}$ .


Tableau de valeurs

III – Fonction définie par un tableau de valeurs


Exercice type

Soit une fonction f définie par le tableau de valeurs suivant :

x -2 -1 0 3 5 6
f(x) 3 0 4 -2 4 0

1. Quel est l’ensemble de définition de f.

L’ensemble de définition de f est $d =\{-2;-1;0;3;5;6\}$.


2. Déterminer l’image de 3 par f .

L’image de 3 par f est - 2.


3. Déterminer les antécédents éventuels de 4 par f .

Les antécédents de 4 par f sont 0 et 5.



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