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Fonctions numériques - Mathématiques

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Fonctions numériques

dimanche 9 avril 2017, par David Rodrigues

Fonctions numériques


Définitions et vocabulaire

I – Définitions et vocabulaire

1. Définir une fonction numérique
Définition :

Définir une fonction f sur un ensemble de nombres D, c’est associer à chaque nombre x appartenant à D un unique nombre réel y qu’on note f\left( x\right) .

On note f : \left \{  \matrix{ D  &   \rightarrow   &  \mathbb{R}   \cr  x  &  \mapsto  &  f\left( x\right) } \right .

On dit alors que f est une fonction de la variable x .

D est appelé l’ensemble de définition de f . (D est l’ensemble des nombres qui ont une image par f ).


Exemple : Voir l’activité de recherche

On considère la fonction a, qui associe à la longueur p =DA (en m) l’aire de baignade déterminée (en m²).

a : \left \{  \matrix{ [0;80]  &   \rightarrow   &  \mathbb{R}   \cr  p  &  \mapsto  & p\left( {160}-{2}p\right)  } \right .

a est définie sur [0 ;80] par l’expression a\left( p\right) =p\left( {160}-{2}p\right)

a est définie sur [0 ;80] par l’expression a : { p } \mapsto p\left( {160}-{2}p\right)


2. Vocabulaire
Définitions :
Soit a et b deux nombres réels.

Si a ∈ d et f\left( a\right) =b, on dit que b est l’image de a par f et que a est un antécédent de b par f .


Exemple :

Soit f une fonction telle que  f  : 3 \mapsto 6.

6 est l’image de 3 par f
3 est antécédent de 6 par f
3 a pour image 6 par f
6 a pour antécédent 3 par f



Expression algébrique

II – Fonction définie par une expression algébrique


Exercice type

1. Soit la fonction g définie sur ℝ par : g\left( t\right) ={3}t^{2}-{5}+t.

Déterminer l’image de  \sqrt {3} par g .

On calcule g\left(  \sqrt {3}\right) .

 {g\left(  \sqrt {3}\right) ={3} \times  \left( \sqrt {3}\right) ^{2}-{5}+ \sqrt {3}}
{\  \  \  \  \  \  \  ={3} \times {3}-{5}+ \sqrt {3}}
{\  \  \  \  \  \  \  =4+ \sqrt {3}}

L’image de  \sqrt {3} par g est {4}+ \sqrt {3} .


2. Soit la fonction h définie sur ℝ par : h\left( x\right) =-{\frac{7}{5}}x+{\frac{3}{2}}.

Déterminer les antécédents éventuels de \frac{3}{4} par h .

On résout l’équation : h\left( x\right) =\frac{3}{4} .

-{\frac{7}{5}}x+{\frac{3}{2}}={\frac{3}{4}}

⇔ -{\frac{7}{5}}x=\frac{3}{4}-\frac{3}{2}

⇔ -{\frac{7}{5}}=\frac{3}{4}-\frac{6}{4}

⇔ -{\frac{7}{5}}x=-{\frac{3}{4}}

⇔ x={-\frac{\frac{3}{4}}{-{\frac{7}{5}}}}

⇔ x=-{\frac{3}{4}} \times  \left(-{\frac{5}{7}} \right)

⇔ x={\frac{15}{28}}

L’antécédent de {\frac{3}{4}} par h est \frac{15}{28} .


Tableau de valeurs

III – Fonction définie par un tableau de valeurs


Exercice type

Soit une fonction f définie par le tableau de valeurs suivant :

x -2 -1 0 3 5 6
f(x) 3 0 4 -2 4 0

1. Quel est l’ensemble de définition de f.

L’ensemble de définition de f est d =\{-2;-1;0;3;5;6\}.


2. Déterminer l’image de 3 par f .

L’image de 3 par f est - 2.


3. Déterminer les antécédents éventuels de 4 par f .

Les antécédents de 4 par f sont 0 et 5.



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