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Pourcentages - Mathématiques

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Pourcentages

lundi 17 avril 2017, par David Rodrigues

Pourcentages

Evolution d’une grandeur

I – Evolution d’une grandeur

1. Pourcentage d’un nombre
Définition :

On appelle pourcentage une écriture fractionnaire dont le dénominateur est 100.


Conséquence  : Puisque prendre une fraction d’un nombre, c’est calculer le produit de la fraction et du nombre, calculer le pourcentage d’un nombre, c’est calculer le produit du pourcentage et le nombre.


Exercice type

Le prix d’un article vendu avec facture subit une augmentation de 13% par rapport à son prix de revient (impôt sur la valeur ajoutée).
Calculer le prix de vente d’un article dont le prix de revient est 2500 Bs.


On calcule la valeur de 13% de 2500 Bs.

{\frac{13}{100}} \times {2500}={325}

On calcule le prix après imposition.

{2500}+{325}={2825} .

Le prix de l’article est 2825 Bs.



Exercice type

Sur la facture d’un montant de 572,85€, on lit « dont 97,85€ de TVA ».
Calculer le taux d’imposition de la TVA sur cet achat.


On calcule le montant de la TVA.

{572,85}-{97,85}={475} .

Le montant HT était de 475€.

On calcule le taux d’imposition sur le montant HT.

\frac{97,85}{475} =  {0,206}= {20,6} {\%} .

Le taux d’imposition de la TVA est 20,6%.



2. Coefficient multiplicateur
Théorème :

Augmenter une grandeur de \text{t} {\%}, c’est multiplier sa valeur initiale par {1}+\frac{t}{100}.

Diminuer une grandeur de \text{t}  {\%}, c’est multiplier sa valeur initiale par {1}-\frac{t}{100}.


Démonstration :

On considère \text{V}_\text{i} la valeur initiale d’une grandeur et \text{V}_f sa valeur finale après évolution.

Après une augmentation de t% , on a :  {\text{V}_f}={\text{V}_\text{i}}+{\text{V}_\text{i}} \times {\frac{t}{100}}={\text{V}_\text{i}} \left({1}+\frac{t}{100} \right).

Après une diminution de t% , on a :  {\text{V}_f}={\text{V}_\text{i}}-{\text{V}_\text{i}} \times {\frac{t}{100}}={\text{V}_\text{i}} \left({1}-\frac{t}{100} \right).


Remarque : Un coefficient multiplicateur n’a pas d’unité.




3. Taux d’évolution
Définition  :

Soit une grandeur dont la valeur initiale \text{V}_\text{i} est non nulle et la valeur suite à une évolution est \text{V}_f.

Le taux d’évolution de cette grandeur est le rapport :  \frac{\text{V}_f-\text{V}_\text{i}}{\text{V}_\text{i}}.


Théorème :

On note t le taux d’évolution d’une grandeur dont la valeur initiale est positive.

L’évolution est une hausse si et seulement si t>{0}.

L’évolution est une baisse si et seulement si t<{0}.


Démonstration :

On s’intéresse au signe du rapport  \frac{\text{V}_f-\text{V}_\text{i}}{\text{V}_\text{i}}.

Si \text{V}_\text{i}>{0} , le signe du rapport est le signe de \text{V}_f-\text{V}_\text{i}.

Or \text{V}_f-\text{V}_\text{i}>{0}\text{V}_f>\text{V}_\text{i}, ce qui modélise une hausse de la valeur.

Et \text{V}_f-\text{V}_\text{i}<{0}\text{V}_f<\text{V}_\text{i}, ce qui modélise une baisse de la valeur.


Exercice type :

En 2015, ces données de la population mondiale ont été publiées par l’ONU.

Compléter le taux d’évolution.

AnnéePopulation mondialeTaux d’évolution
1950 2 525 149 000
1955 2 758 315 000 + 9,23 %
1960 3 018 344 000 + 9,43 %
1965 3 322 495 000 + 10,08 %
1970 3 682 488 000 + 10,84 %
1975 4 061 399 000 + 10,29 %
1980 4 439 632 000 + 9,31 %
1985 4 852 541 000 + 9,30 %
1990 5 309 668 000 + 9,42 %
1995 5 735 123 000 + 8,01 %
2000 6 126 622 000 + 6,83 %
2005 6 519 636 000 + 6,41 %
2010 6 929 725 000 + 6,29 %
2015 7 349 472 000 + 6,06 %


Évolutions successives

II – Évolutions successives

1. Enchaînement d’évolutions
Théorème  :

On considère une grandeur dont la valeur initiale est notée \text{V}_\text{i}.

Si cette grandeur subit une évolution de t% suivie d’une évolution de p% , alors sa valeur finale est :

 \text{V}_\text{i} \times  \left({1}+\frac{t}{100} \right) \times  \left({1}+\frac{p}{100} \right)


Démonstration  :

On calcule le coefficient multiplicateur correspondant à la première évolution puis celui qui correspond à la seconde évolution.
Les coefficients multiplicateurs se multiplient dans le cas d’évolutions successives.

Exercice type

Durant 3 années, le prix du gaz a augmenté de 10% par an.
Quel est le taux d’augmentation global sur les 3 ans.


Le coefficient multiplicateur correspondant à une augmentation de 10% est 1,1.

L’expression du prix final suite aux 3 années d’augmentation à partir d’un prix initial p est :

p \times {1,1} \times {1,1} \times {1,1}=p \times {1,1}^{3}={1,331}p .

Le coefficient multiplicateur global est 1,331.

Le taux d’augmentation est donc 33,1%.



2. Indice d’évolution
Définition  :
Un indice est un nombre associé à l’évolution d’une grandeur dans le temps.
L’indice est fixé arbitrairement à une valeur (généralement 100) pour une date donnée.



Remarque  : L’utilisation d’indices permet de suivre l’évolution d’une grandeur sans être parasité par les variations relatives liées au calcul d’un taux d’évolution.


Exercice type

Par décret présidentiel, le prix d’une denrée a été diminué de 15% l’année de l’élection présidentielle, puis a augmenté de 5% chaque année pendant les 4 années suivantes de son mandat.
En considérant que l’indice de prix avant la diminution est 100, déterminer en quelle année le prix de cette denrée a rattrapé son niveau initial.


On détermine les indices pour chaque année.

Année 0 : {100}

Année 1 : {100} \times {0,85}={85}

Année 2 : {85} \times {1,05}={89,25}

Année 3 : {89,25} \times {1,05}={93,7125}

Année 4 : {93,7125} \times {1,05}={98,3981}

Année 5 : {98,3981} \times {1,05}={103,318}

Le prix de cette denrée est rétabli au terme de la 5e année.



3. Evolution réciproque
Définition  :

On considère une grandeur ayant subi une évolution de \text{V}_\text{i} à \text{V}_f.

On appelle évolution réciproque l’évolution permettant de ramener la grandeur de \text{V}_fà \text{V}_\text{i}.


Exercice type

Après une hausse de 12% sur le prix de l’essence, le gouvernement décide de ramener le prix des carburants à son niveau précédent.

Déterminer le pourcentage de baisse des prix qu’il faut appliquer.


On calcule le coefficient multiplicateur correspondant à l’augmentation.

 \text{C}={1}+\frac{12}{100}={1,12} .

On cherche le coefficient multiplicateur réciproque.

On résout l’équation d’inconnue C : {1,12}x \times \text{C}=x .

D’où  \text{C}=\frac{1}{1,12} \approx {0,893} .

On détermine le pourcentage d’évolution correspondant.

{0,893}-{1}=-{0,107} .

L’évolution réciproque est une diminution de 10,7%,



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