Strict Standards: Only variables should be passed by reference in /data/web/4/1/maths.toile-libre.org/htdocs/config/ecran_securite.php on line 283
Fractions - Mathématiques

Accueil > Cinquième > Cours et Exercices > Fractions

Fractions

lundi 17 avril 2017, par David Rodrigues

Fractions

Quotient et fraction

I – Quotient et fraction

1. Quotient de deux nombres
Définition  :

On considère deux nombres a et b , b non nul.

Le quotient \frac{a}{b} est le nombre qui, multiplié par b , donne a .


Exemples :

Le quotient de {9} par {7} est \frac{9}{7} car \frac{9}{7} \times {7}={9}.

Le quotient de {36} par {3} est {12}, car {12} \times {3}={36}.

Le quotient de {2,5} par {5} est \frac{1}{2}, car \frac{1}{2} \times {5}={2,5}.


2. Fractions et nombres rationnels
Définition :
On appelle écriture fractionnaire la forme d’écriture d’un quotient avec un trait de fraction.
On appelle fraction le quotient de deux nombres entiers, écrit sous forme fractionnaire.
On appelle nombre rationnel tout nombre qui peut s’écrire sous la forme d’une fraction.


Exemples :
- Le nombre \frac{3}{7} est rationnel ; \frac{3}{7} est une fraction.
- Le nombre \frac{7}{5} est rationnel ; \frac{7}{5} est une fraction.
- Le nombre \frac{0,5}{4} est rationnel car il peut s’écrire \frac{1}{8} ; \frac{0,5}{4} est une écriture fractionnaire.
- Le nombre {2,5} est rationnel car il peut s’écrire \frac{25}{10} ; {2,5} n’est pas une fraction.
- Le nombre \pi n’est pas rationnel et n’est pas une fraction.



Fractions égales

II – Fractions égales

1. Égalité de fractions
Propriété d’égalité de fractions :

Quels que soient les nombres a, b et k (avec b\neq{0} et k\neq{0}) , on a : {\frac{a}{b}}=\frac{ak}{bk} et \frac{a}{b}=\frac{a \div k}{b \div k}.


Démonstration  :

Par définition {\frac{a \times k}{b \times k}} \times \left( b \times k\right) ={a \times k} et \frac{a}{b} \times b=a.

De plus, avec l’associativité de la multiplication, on a \frac{a}{b} \times \left( b \times k\right) = \left(\frac{a}{b} \times b \right) \times k =a \times k.

Alors, le nombre qui, multiplié par b \times k donne a \times k est \frac{a}{b} et \frac{a \times k}{b \times k}.

Donc \frac{a}{b}=\frac{a \times k}{b \times k}.


Exemples :

\frac{12}{16}=\frac{{12} \div {4}}{{16} \div {4}}=\frac{3}{4}

\frac{5}{2}=\frac{{5} \times {5}}{{2} \times {5}}=\frac{25}{10}


2. Simplifier une fraction
Définition  :

Simplifier une fraction \frac{a}{b}, c’est trouver une fraction égale à \frac{a}{b}, avec un dénominateur entier inférieur à b.


Exercices :

Simplifier les fractions

\frac{34}{210}=\frac{{34} \div {2}}{{210} \div {2}}=\frac{17}{105}

\frac{125}{45}=\frac{{125} \div {5}}{{45} \div {5}}=\frac{25}{9}

\frac{639}{345}=\frac{{639} \div {3}}{{345} \div {3}}=\frac{213}{115}


3. Comparer des fractions
Propriété de comparaison de fractions :
Si deux fractions ont le même dénominateur, alors leur ordre est celui de leurs numérateurs.


Exercices :

Ordonner les fractions

\frac{3}{7} et \frac{10}{21}

\frac{3}{7}=\frac{{3} \times {3}}{{7} \times {3}}=\frac{9}{21}

Donc \frac{3}{7}\le\frac{10}{21}

\frac{3}{5} et \frac{2}{3}

\frac{3}{5}=\frac{{3} \times {3}}{{5} \times {3}}=\frac{9}{15} et \frac{2}{3}=\frac{{2} \times {5}}{{3} \times {5}}=\frac{10}{15}

Donc \frac{3}{5}\le\frac{2}{3}


Opérations sur les fractions

III – Opérations sur les fractions

1. Ajouter ou soustraire deux fractions
Propriété d’addition de fractions :

Quels que soient les nombres a, b et c, avec c non nul, on a : \frac{a}{c}+\frac{b}{c}=\frac{a+b}{c} et \frac{a}{c}-\frac{b}{c}=\frac{a-b}{c}


Démonstration :

Par définition, \frac{a}{c} \times c=a et \frac{b}{c} \times c=b.

Alors, par la propriété de distributivité,  \left(\frac{a}{c}+\frac{b}{c} \right) \times c=\frac{a}{c} \times c+\frac{b}{c} \times c=a+b.

Donc,  \left(\frac{a}{c}+\frac{b}{c} \right) est le nombre qui, multiplié par c, donne a+b, c’est-à-dire \frac{a+b}{c}.


Exercices :

Additionner ou soustraire les fractions

\frac{12}{7}-\frac{5}{7}=\frac{{12}-{5}}{7}=\frac{7}{7}={1}

\frac{25}{2}+\frac{7}{4}=\frac{50}{4}+\frac{7}{4}=\frac{{50}+{7}}{4}=\frac{57}{4}

\frac{3}{5}+\frac{7}{2}=\frac{6}{10}+\frac{35}{10}=\frac{{6}+{35}}{10}=\frac{41}{10}

2. Multiplier une fraction par un entier
Théorème  :

Quels que soient les nombres a, b et c, avec c non nul, on a : a \times {\frac{b}{c}}=\frac{a \times b}{c}



3. Multiplier deux fractions
Théorème (admis) :

Quels que soient les nombres a, b, c, d avec b et d non nuls, on a : {\frac{a}{b}} \times {\frac{c}{d}}=\frac{a \times c}{b \times d}


Exercice s :

Effectuer les multiplications

{8} \times {\frac{2}{3}}=\frac{{8} \times {2}}{3}=\frac{16}{3}

{\frac{3}{4}} \times {\frac{2}{7}}=\frac{{3} \times {2}}{{4} \times {7}}=\frac{6}{14}=\frac{3}{7}

{\frac{5}{4}} \times {\frac{7}{2}}=\frac{{5} \times {7}}{{4} \times {2}}=\frac{35}{8}


SPIP | | Plan du site | Suivre la vie du site RSS 2.0
Habillage visuel © digitalnature sous Licence GPL