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Thalès - Mathématiques

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Thalès

vendredi 28 avril 2017, par David Rodrigues

Thalès

Théorème de Thalès

I – Théorème de Thalès (ou théorème d’intersection)

Théorème de Thalès :
Soient deux droites (BM) et (CN) sécantes en A.

Si (BC)//(MN), alors les rapports des longueurs dans les triangles AMN et ABC sont égaux :

$ \frac{\text{AM}}{\text{AB}}=\frac{\text{AN}}{\text{AC}}=\frac{\text{MN}}{\text{BC}}$



Exercice type

Écrire les rapports de longueurs égaux dans cette configuration.

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Thalès - Exercice 1


Les droites (BD) et (CE) sont sécantes en A et (BC)//(DE).

On applique Thalès dans les triangles ABC et ADE.

Alors $ \frac{\text{AB}}{\text{AD}}=\frac{\text{AC}}{\text{AE}}=\frac{\text{BC}}{\text{DE}}$ .

Les droites (BM) et (CN) sont sécantes en A et (BC)//(MN).

On applique Thalès dans les triangles ABC et AMN.

Alors $ \frac{\text{AB}}{\text{AM}}=\frac{\text{AC}}{\text{AN}}=\frac{\text{BC}}{\text{MN}}$ .

Les droites (DM) et (DN) sont sécantes en A et (DE)//(MN).

On applique Thalès dans les triangles ADE et AMN.

Alors $ \frac{\text{AD}}{\text{AM}}=\frac{\text{AE}}{\text{AN}}=\frac{\text{DE}}{\text{MN}}$ .

Remarque : On peut généraliser le théorème pour écrire : $ \frac{\text{BM}}{\text{DM}}=\frac{\text{CN}}{\text{NE}}$.


Calculer une longueur

II – Calculer une longueur

Exercice type

Dans la situation représentée, (MN)//(BC).
Calculer MN

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Exercice type - Calculer une longueur


Les droites ( MC ) et ( BN ) sont sécantes en A et ( MN )//( BC ).

On applique Thalès dans les triangles ABC et A NM .

Alors $ \frac{\text{AB}}{\text{AN}}=\frac{\text{AC}}{\text{AM}}=\frac{\text{BC}}{\text{MN}}$ .

Avec les données numériques, on obtient : $ \frac{1,8}{0,6}=\frac{2,1}{\text{MN}}$ .

Alors, d’après l’égalité des produits en croix, ${1,8} \times \text{MN}={0,6} \times {2,1}$ puis $ \text{MN}=\frac{1,26}{1,8}={0,7}$ .

Donc $\text{MN}={0,7}cm$ .


Déterminer le parallélisme

III – Déterminer le parallélisme de deux droites

1. Démontrer que deux droites ne sont pas parallèles

Exercice type

Dans la situation représentée, démontrer que (MN) n’est pas parallèle à (BC).

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L es droites ( MC ) et ( BN ) sont sécantes en A.

Supposons que les droites (MN) et (BC) sont parallèles.

On pourrait applique r Thalès dans les triangles ABC et A MN .

On aurait donc : $ \frac{\text{AB}}{\text{AM}}=\frac{\text{AC}}{\text{AN}}=\frac{\text{BC}}{\text{MN}}$ .

Vérifions ces égalités.

On calcule $ \frac{\text{AB}}{\text{AM}}=\frac{3,5}{1,5}=\frac{7}{3}$ .

On calcule $ \frac{\text{AC}}{\text{AN}}=\frac{4}{2,5}=\frac{8}{5}$ .

On constate que $ \frac{\text{AB}}{\text{AM}}<>\frac{\text{AC}}{\text{AN}}$ .

Alors, ( MN ) n’est pas parallèle à (BC).


Contraposée de Thalès :

Soient deux droites (BM) et (CN) sécantes en A.

Si les rapports des longueurs dans les triangles AMN et ABC ne sont pas égaux, alors(BC) n’est pas parallèle à (MN).

Démonstration :

La contraposée d’un théorème a la même valeur de vérité que le théorème.



2. Démontrer que deux droites sont parallèles
Réciproque de Thalès (admise) :
Soient deux droites (BM) et (CN) sécantes en A.
Si les rapports des longueurs dans les triangles AMN et ABC sont égaux et que A, B et M et A, C et N sont alignés dans le même ordre, alors(BC) est parallèle à (MN).


Exercice type

Dans la situation représentée, on a : $\text{BR}={2,5}cm$, $\text{BL}={15}cm$, $\text{BE}={1,5}cm$ et $\text{BI}={9}cm$.

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Configuration papillon

Déterminer si (RE) est parallèle à (LI).


L es droites ( IE ) et ( RL ) sont sécantes en B .

Supposons que les droites ( IL ) et ( RE ) sont parallèles.

On pourrait appliquer Thalès dans les triangles BIL et BER .

On aurait donc : $ \frac{\text{BI}}{\text{BE}}=\frac{\text{BL}}{\text{BR}}=\frac{\text{IL}}{\text{RE}}$ .

Vérifions ces égalités.

On calcule $ \frac{\text{BI}}{\text{BE}}=\frac{9}{1,5}={6}$ .

On calcule $ \frac{\text{BL}}{\text{BR}}=\frac{15}{2,5}={6}$ .

On constate que $ \frac{\text{BI}}{\text{BE}}=\frac{\text{BL}}{\text{BR}}$ .

De plus I, B, E et L, B, R sont alignés dans le même ordre.

Alors, d’après la réciproque de Thalès, ( RE ) est parallèle à (LI).


Remarque : Vérifier l’ordre d’alignement permet d’éviter une conclusion fausse dans ce genre de configuration, qui respecte l’égalité des rapports.



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