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Vecteurs - Mathématiques

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Vecteurs

jeudi 27 avril 2017, par David Rodrigues

Vecteurs

Translation

I – Translation et vecteur

1. Translation de vecteur $ \overrightarrow{\text{AB}}$
Définition  :

Soient A et B deux points du plan.

On appelle translation qui à A associe B la transformation qui, à tout point C, associe le point D tel que [AD] et [BC] aient même milieu.

On désigne cette transformation comme la translation de vecteur $ \overrightarrow{\text{AB}}$.


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Vecteurs - Définition


Vecteurs égaux

II – Vecteurs égaux

1. Définition et caractérisation
Définition  :

Soient deux vecteurs $ \overrightarrow{\text{AB}}$ et $ \overrightarrow{\text{CD}}$.

On dit que $ \overrightarrow{\text{AB}}= \overrightarrow{\text{CD}}$ si et seulement si D est l’image de C par la translation de vecteur $ \overrightarrow{\text{AB}}$.


Théorème  :

Soient deux vecteurs $ \overrightarrow{\text{AB}}$ et $ \overrightarrow{\text{CD}}$.

On dit que $ \overrightarrow{\text{AB}}= \overrightarrow{\text{CD}}$ si et seulement si ABDC est un parallélogramme éventuellement aplati.


Démonstration  :

Soient les points A, B, C et D tels que $ \overrightarrow{\text{AB}}= \overrightarrow{\text{CD}}$. Par définition de la translation de vecteur $ \overrightarrow{\text{AB}}$, [AD] et [BC] ont même milieu. Le quadrilatère ABDC est donc un parallélogramme.

Soit ABDC un parallélogramme. Donc [AD] et [BC] ont même milieu. Par la translation de vecteur $ \overrightarrow{\text{AB}}$, D est l’image de D. Alors $ \overrightarrow{\text{AB}}= \overrightarrow{\text{CD}}$.


Théorème  :

Soient trois points A, B et C.

On a $ \overrightarrow{\text{AB}}= \overrightarrow{\text{BC}}$ si et seulement si B est le milieu de [AC].


Démonstration  :

Soient les points A, B et C tels que $ \overrightarrow{\text{AB}}= \overrightarrow{\text{BC}}$. Par définition de la translation de vecteur $ \overrightarrow{\text{AB}}$, [AC] et [BB] ont même milieu.

Donc B est le milieu de [AC].


2. Représentants d’un vecteur
Définition  :

Soient un vecteur $ \vec {u}$ et un point A.

On appelle représentant de $ \vec {u}$ d’origine A le vecteur $ \overrightarrow{\text{AB}}$ tel que $ \overrightarrow{\text{AB}}= \vec {u}$.


Somme de vecteurs

III – Opération sur les vecteurs – Somme de vecteurs

1. Somme de vecteurs
Définition  :

Soit $\text{T}_\vec{u}$ une translation de vecteur $ \vec {u}$ et $\text{T}_\vec{v}$ une translation de vecteur $ \vec {v}$.

L’enchaînement de $\text{T}_\vec{u}$ et $\text{T}_\vec{v}$ est une translation de vecteur $ \vec {w}$.

On appelle somme de $ \vec {u}$ et $ \vec {v}$ le vecteur $ \vec {w}$, et on note $ \vec {u}+ \overrightarrow{v}= \vec {w}$.


Corollaire  :

La somme sur les vecteurs est commutative : $ \vec {u}+ \overrightarrow{v}= \vec {v}+ \overrightarrow{u}$.


Élément de démonstration  :

Enchaîner $\text{T}_\vec{u}$ et $\text{T}_\vec{v}$ ou $\text{T}_\vec{v}$ et $\text{T}_\vec{u}$ à partir d’un même point aboutit à un même point image.



2. Théorèmes de calcul vectoriel
Relation de Chasles :

Pour tous points A, B et C du plan, on a : $ \overrightarrow{\text{AB}}+ \overrightarrow{\text{BC}}= \overrightarrow{\text{AC}}$.

Démonstration  :

Activité de recherche


Règle du parallélogramme :

Pour tous points A, B et C du plan, on a : $ \overrightarrow{\text{AB}}+ \overrightarrow{\text{AC}}= \overrightarrow{\text{AD}}$ si et seulement si ABDC est un parallélogramme.


Démonstration  :

Soient 4 points A, B, C et D du plan. D’après la relation de Chasles, $ \overrightarrow{\text{AB}}+ \overrightarrow{\text{BD}}= \overrightarrow{\text{AD}}$.

Alors $ \overrightarrow{\text{AB}}+ \overrightarrow{\text{AC}}= \overrightarrow{\text{AD}}$ ⇔ $ \overrightarrow{\text{AB}}+ \overrightarrow{\text{AC}}= \overrightarrow{\text{AC}}+ \overrightarrow{\text{CD}}$ ⇔ $ \overrightarrow{\text{AB}}= \overrightarrow{\text{CD}}$ ⇔ ABDC est un parallélogramme.


3. Vecteur nul
Définition :

On appelle vecteur nul tout vecteur $ \vec {u}$ tel que $ \vec {u}+ \overrightarrow{v}= \vec {v}$.

On note $ \vec {0}$ le vecteur nul.


Remarque : pour tout point A du plan, $ \overrightarrow{\text{AA}}= \vec {0}$.


4. Vecteur opposé
Définition :

Soit un vecteur $ \vec {u}$.

On appelle opposé de $ \vec {u}$ le vecteur $ \vec {v}$ tel que $ \vec {u}+ \overrightarrow{v}= \vec {0}$.

On note $- \vec {u}$ l’opposé de $ \vec {u}$.


Théorème :

Pour tout vecteur $ \overrightarrow{\text{AB}}$ du plan, $ \overrightarrow{\text{BA}}=- \overrightarrow{\text{AB}}$.


Démonstration  :

D’après la relation de Chasles, $ \overrightarrow{\text{AB}}+ \overrightarrow{\text{BA}}= \overrightarrow{\text{AA}}= \vec {0}$.


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