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Second degré - Mathématiques

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Second degré

lundi 13 février 2017, par David Rodrigues

Second degré


Fonction polynôme

I – Fonction polynôme du second degré

1. Définition
Définition :

La fonction f définie sur R est appelée fonction polynôme du second degré si et seulement s’il existe trois réels a, b et c (avec $a \neq {0}$) tels que, pour tout x réel $f \left( x\right) =ax^{2}+bx+c$.

Exercice type

Soit la fonction f définie sur [-5 ;3] par f(x)=(2x-3)(4+x).

a) Montrer que f est une fonction polynôme du second degré.

b) Résoudre l’inéquation : f(x)=-12

c) Résoudre l’équation : $f(x) /ge 0 $


a ) On développe :
$f \left( x\right) =\left( {2}x-{3}\right) \left( {4}+x\right) $
$ ={2}x^{2}+{5}x-{12}$
Alors f est de la forme $ax^{2}+bx+c$ avec $a=2$, $b=5$ et $c=-12$.
Donc f est un polynôme du second degré.

b ) On résout :
$f\left( x\right) =-{12} $
$\Leftrightarrow {2}x^{2}+{5}x-{12}=-{12} $
$\Leftrightarrow {2}x^{2}+{5}x={0} $
$\Leftrightarrow x\left( {2}x+{5}\right) ={0} $
$\Leftrightarrow x={0}$ ou ${2}x+{5}={0} $
$\Leftrightarrow x={0}$ ou $x=-\frac{5}{2}$
$ \text{S}= \left \{ -\frac{5}{2} \mathrm{;} {0} \right \} $

c) On résout : ${2}x-{3}={0} $
$\Leftrightarrow x=\frac{3}{2}$
et ${4}+x={0} $
$\Leftrightarrow x=-{4}$

On établit le tableau de signes :

$x$ -5 -4 1,5 3
$Signe de {2}x-{3}$ $\vdots$ 0 +
$Signe de {4}+x$ 0 + $\vdots$ +
$Signe du produit$ + 0 0 +

$\text{S}=[-{5} \mathrm{;} {4}]\cup[{1,5} \mathrm{;} {3}]$



2. Forme canonique
Théorème :

Quelle que soit la fonction polynôme $f \left( x\right) =ax^{2}+bx+c$, il existe des réels u et v tels que $f \left( x\right) =\alpha\left( x-u\right) ^{2}+v$.

Cette écriture de la fonction est appelée forme canonique.

Démonstration :

On développe ${\alpha}\left( x-u\right) ^{2}+v={\alpha}\left( x^{2}-{2}ux+u^{2}\right) +v $
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ={\alpha}x^{2}-{2}{\alpha}ux+v+{\alpha}u^{2}$.

On identifie ${\alpha}x^{2}-{2}{\alpha}ux+v+{\alpha}u^{2}=ax^{2}+bx+c$ ⇔ $\left \{ \matrix{{\alpha}=a \cr -{2}{\alpha}u=b \cr v+{\alpha}u^{2}=c} \right .$ ⇔ $\left \{ \matrix{ {\alpha}=a \cr u=-{\frac{b}{{2}{\alpha}}} \cr v=c-{\alpha}u^{2} } $ ⇔ $\left \{ \matrix{{\alpha}=a \cr u=-{\frac{b}{{2}a}} \cr v=c-\frac{b^{2}}{{4}a}=\frac{4ac-b^{2}}{{4}a}} \right .$.

Puisque $a\neq{0}$, les nombres α, u et v sont définis pour toute fonction polynôme.


Exercice type


Soit la fonction g définie sur R par g(x)=2x²-8x+3

a) Donner la forme canonique de g.

b) Démontrer que g admet un minimum sur R.


a ) On cherche les nombres u et v tels que $g \left( x\right) ={2}\left( x-u\right) ^{2}+v$

On calcule : $u=-{\frac{b}{{2}a}}=\frac{8}{4}={2}$ et $v=\frac{{4}ac-b^{2}}{{4}a}=-{\frac{40}{8}}=-{5}$ .

L a forme canonique est : $g \left( x\right) ={2}\left( x-{2}\right) ^{2}-{5}$ .

b ) On conjecture que le minimum de g sur R est -5.

On résout : $g(x)=-5$.

$S=\{2\}$.

On démontre que, pour tout x réel, $g(x)\geq {-5}$.

On sait que, pour tout x réel :

$\left( x-{2}\right) ^{2} \geq {0} $
$\Leftrightarrow {2}\left( x-{2}\right) ^{2} \geq {0} $
$\Leftrightarrow {2}\left( x-{2}\right) ^{2}-{5} \geq -{5} $
$\Leftrightarrow g\left( x\right) \geq -{5}$

Donc, pour tout x réel, $g\left( x\right) \geq -{5}$

Puisque -5 est la plus petite image atteinte par g, -5 est le minimum de g sur R. Il est atteint en 2.


http://proglab.fr/pxh022
Algorithme - Ex 6 page 234


3. Variations d’une fonction polynôme du second degré
Théorème :

Soit f une fonction polynôme de degré 2 définie sur ℝ par $f\left( x\right) =ax^{2}+bx+c$ et sa forme canonique $f\left( x\right) =a\left( x-u\right) ^{2}+v$.

Le tableau de variations de f sur ℝ est :

Si a>0 :

JPEG - 13.4 ko
Variations a positif

Si a<0 :

JPEG - 6.5 ko
Variations a négatif



Démonstration :

Voir corrigé du DM1.


4. Courbe représentative d’une fonction polynôme du second degré
Théorème (admis) :

Soit f une fonction polynôme de degré 2 et sa forme canonique $f\left( x\right) ={\alpha}\left( x-u\right) ^{2}+v$.

La courbe représentative de la fonction f dans un repère orthogonal est une parabole de sommet $\text{S}\left( u \mathrm{;} v\right) $.



Théorème :

Soit f une fonction polynôme de degré 2 et sa forme canonique $f\left( x\right) ={\alpha}\left( x-u\right) ^{2}+v$.

La parabole représentative de f admet la droite d’équation $x=u$ comme axe de symétrie.


Démonstration :

On considère un réel a et les nombres $x₁=u+a$ et $x₂=u-a$.

On calcule $f\left( x₁\right) =\text{α}\left( u-a-u\right) ^{2}+v=\text{α}a^{2}+v$ et $f\left( x₂\right) =\text{α}\left( u+a-u\right) ^{2}+v=\text{α}a^{2}+v$. On a donc $f\left( x₁\right) =f\left( x₂\right) $.

Les points $\text{A}\left( x₁ \mathrm{;} f\left( x_{1}\right) \right) $et $\text{B}\left( x₂ \mathrm{;} f\left( x_{2}\right) \right) $ ont même ordonnée. La droite (AB) est donc perpendiculaire à l’axe des ordonnées.

De plus, u est la moyenne de leurs abscisses. Ils sont donc symétriques par rapport à la droite d’équation $x=u$.


Exercice type

Soit la fonction f définie sur R par f(x)=3x²-2x+1.

Déterminer la forme canonique de f.



La forme canonique de f est de la forme $a\left( x-u\right) ^{2}+v$$a={3}$ .

On résout l’équation $f \left( x\right) =f\left( {0}\right) $ .

${3}x^{2}-{2}x+{1}={1} $
$\Leftrightarrow {3}x^{2}-{2}x={0}$
$\Leftrightarrow x\left( {3}x-{2}\right) ={0} $
$\Leftrightarrow x={0}$ ou $x=\frac{2}{3}$ .
Les solutions sont
$ \text{S}= \left \{ {0} \mathrm{;} \frac{2}{3} \right \} $ .

Par symétrie, on en déduit : $u=\frac{{0}+{\frac{2}{3}}}{2}=\frac{1}{3}$ .

On calcule $v=f\left( u\right) =f \left(\frac{1}{3} \right)=\frac{2}{3}$ .

Alors la forme canonique de f est $f \left( x\right) ={3} \left(x-{\frac{1}{3}} \right)^{2}+\frac{2}{3}$ .

Exercices

Voici quelques exercices pour vous entraîner.


Signe

II – Signe d’une fonction polynôme du second degré

1. Racines d’une fonction


Définition :
On appelle racine d’une fonction f toute solution de l’équation $f (x)=0$.


2. Racines réelles d’une fonction polynôme du second degré


Démonstration :

On considère une fonction polynôme du second degré $f \left( x\right) =ax^{2}+bx+c$.

On détermine sa forme canonique : $f \left( x\right) =a \left(x+\frac{b}{{2}a} \right)^{2}-\frac{b^{2}-{4}ac}{{4}a}$.

Alors $f \left( x\right) ={0}$ ⇔ $a \left(x+\frac{b}{{2}a} \right)^{2}-\frac{b^{2}-{4}ac}{{4}a}=0$ ⇔ $a \left(x+\frac{b}{{2}a} \right)^{2}=\frac{b^{2}-{4}ac}{{4}a}$.

Pour déterminer l’existence de solutions, on s’intéresse aux signes des membres de l’équation.

Quel que soit le signe de a , $a \left(x+\frac{b}{{2}a} \right)^{2}$ est du même signe.

Si $a>{0}$, $\frac{b^{2}-{4}ac}{{4}a}$ est positif si et seulement si $b^{2}-{4}ac >={0}$.

Si $a<{0}$, $\frac{b^{2}-{4}ac}{{4}a}$ est négatif si et seulement si $b^{2}-{4}ac >= {0}$.

Donc, quel que soit le signe de a , l’équation $f \left( x\right) ={0}$ n’a des solutions que si $b^{2}-{4}ac >= {0}$.

Pour déterminer la valeur des solutions, on résout l’équation d’inconnue x .

$f \left( x\right) ={0}$ ⇔ $a \left(x+\frac{b}{{2}a} \right)^{2}=\frac{b^{2}-{4}ac}{{4}a}$ ⇔ $ \left(x+\frac{b}{{2}a} \right)^{2}=\frac{b^{2}-{4}ac}{{4}a^{2}}$ ⇔ $x+\frac{b}{{2}a}= +- \frac{ \sqrt {b^{2}-{4}ac}}{{2}a}$ ⇔ $x=\frac{{-b+- \sqrt {b^{2}-{4}ac}}}{{2}a}$.


Théorème :

Soit f une fonction polynôme de degré 2 définie sur ℝ par $f\left( x\right) =ax^{2}+bx+c$.

On définit le discriminant $ \mathrm{\Delta}=b^{2}-{4}ac$.

Si $ \mathrm{\Delta}<{0}$, la fonction f n’admet pas de racines réelles.

Si $ \mathrm{\Delta}={0}$, la fonction f admet une racine double : $x₀=-{\frac{b}{{2}a}}$.

Si $ \mathrm{\Delta}>{0}$, la fonction f admet deux racines : $x_{1}=\frac{-b- \sqrt { \mathrm{\Delta}}}{{2}a}$ et $x_{2}=\frac{-b+ \sqrt { \mathrm{\Delta}}}{{2}a}$.


Exercice type :

Soient les fonctions f et g définies sur R par $f(x)=2x²-8x+3$ et $g(x)=3x²+6x+3$.

Calculer les racines de f et de g sur R.

On résout l’équation $f\left( x\right) ={0}$ .

On calcule le discriminant de la fonction f.

$ \mathrm{\Delta}=\left( -{8}\right) ^{2}-{4} \times {2} \times {3}={64}-{24}={40}$ .

Puisque $\text{Δ}>{0}$ , la fonction f admet deux racines.

$ x_{1}=\frac{{8}- \sqrt {40}}{4}={2}-\frac{ \sqrt {10}}{2}$ Et $x_{2}=\frac{{8}+ \sqrt {40}}{4}={2}+\frac{ \sqrt {10}}{2}$ .

L’ensemble des solutions est $ \text{S}= \left \{ {2}-\frac{ \sqrt {10}}{2} \mathrm{;} {2}+{\frac{ \sqrt {10}}{2}} \right \} $ .

On résout l’équation $g\left( x\right) ={0}$ .

On calcule le discriminant de la fonction g .

$\text{Δ}={6}^{2}-{4} \times {3} \times {3}={0}$ .

Puisque $\text{Δ}={0}$ , la fonction f admet une racine double .

$x_{0}=-{\frac{6}{6}}={1}$ .

L’ensemble des solution s est $\text{S}=\left \{ {1} \right \}$ .



3. Forme factorisée d’une fonction polynôme du second degré


Théorème :

Soit f une fonction polynôme de degré 2 définie sur ℝ par $f\left( x\right) =ax^{2}+bx+c$ dont les racines sont x₁ et x₂ .

La forme factorisée de f est $f \left( x\right) =a\left( x-x_{1}\right) \left( x-x_{2}\right) $.

Soit g une fonction polynôme de degré 2 définie sur ℝ par $g \left( x\right) =ax^{2}+bx+c$ dont la racine double est x₀.

La forme factorisée de g est $g \left( x\right) =a\left( x-x_{0}\right) ^{2}$.


Démonstration :

Il suffit de développer la forme factorisée.



4. Étudier le signe d’une fonction polynôme du second degré


Exercice type

On considère la fonction définie sur R par f(x)=2x²-4x-4.

Résoudre l’inéquation f(x)>26.


On a : $f\left( x\right) >{26}$${2}x^{2}-{4}x-{4}>{26}$${2}x^{2}-{4}x-{30}>{0}$ .

On considère $g\left( x\right) ={2}x^{2}-{4}x-{30}$ .

Alors $f\left( x\right) >{26}$$g\left( x\right) >{0}$ .

On détermine le discriminant de g .

$\text{Δ}={16}+{240}={256}$ .

Puisque $\text{Δ}>{0}$ , g admet 2 racines :

$x_{1}=\frac{{4}- \sqrt {256}}{4}=-{3}$ et $x_{2}=\frac{{4}+ \sqrt {256}}{4}={5}$ .

La forme factorisée de g est $g\left( x\right) ={2}\left( x-{5}\right) \left( x+{3}\right) $ .

On établit le tableau de signes :

$x$ – ∞ –3 5 + ∞
$\text{Signe de } x-{5}$ $\vdots$ 0 +
$\text{Signe de } x+{3}$ 0 + $\vdots$ +
$\text{Signe de } g$ + 0 0 +

L’ensemble solution est $\text{S}=]–∞ \mathrm{;} -{3}[ \cup ]{5} \mathrm{;} +∞[$





5. Somme et produit des racines d’une fonction polynôme du second degré


Théorème :

Soit f une fonction polynôme de degré 2 définie sur ℝ par $f\left( x\right) =ax^{2}+bx+c$ dont les racines sont $x_1$ et $x_2$ .

On a : $x_{1}+x_{2}=-{\frac{b}{a}}$ et $x_{1} \times x_{2}=\frac{c}{a}$.

Démonstration :

Exercice 110 page 86

Exercices

Voici quelques exercices pour vous entraîner.




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