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Second degré - Mathématiques

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Second degré

lundi 13 février 2017, par David Rodrigues

Second degré


Fonction polynôme

I – Fonction polynôme du second degré

1. Définition
Définition :

La fonction f définie sur R est appelée fonction polynôme du second degré si et seulement s’il existe trois réels a, b et c (avec a \neq {0}) tels que, pour tout x réel f \left( x\right) =ax^{2}+bx+c.

Exercice type

Soit la fonction f définie sur [-5 ;3] par f(x)=(2x-3)(4+x).

a) Montrer que f est une fonction polynôme du second degré.

b) Résoudre l’inéquation : f(x)=-12

c) Résoudre l’équation : f(x) /ge 0


a ) On développe :
f \left( x\right) =\left( {2}x-{3}\right) \left( {4}+x\right)
 ={2}x^{2}+{5}x-{12}
Alors f est de la forme ax^{2}+bx+c avec a=2, b=5 et c=-12.
Donc f est un polynôme du second degré.

b ) On résout :
f\left( x\right) =-{12}
\Leftrightarrow  {2}x^{2}+{5}x-{12}=-{12}
\Leftrightarrow  {2}x^{2}+{5}x={0}
\Leftrightarrow  x\left( {2}x+{5}\right) ={0}
\Leftrightarrow  x={0} ou {2}x+{5}={0}
\Leftrightarrow  x={0} ou x=-\frac{5}{2}
 \text{S}= \left \{ -\frac{5}{2} \mathrm{;} {0} \right \}

c) On résout : {2}x-{3}={0}
\Leftrightarrow  x=\frac{3}{2}
et {4}+x={0}
\Leftrightarrow  x=-{4}

On établit le tableau de signes :

x -5 -4 1,5 3
Signe de {2}x-{3} \vdots 0 +
Signe de {4}+x 0 + \vdots +
Signe du produit + 0 0 +

\text{S}=[-{5} \mathrm{;} {4}]\cup[{1,5} \mathrm{;} {3}]



2. Forme canonique
Théorème :

Quelle que soit la fonction polynôme f \left( x\right) =ax^{2}+bx+c, il existe des réels u et v tels que f \left( x\right) =\alpha\left( x-u\right) ^{2}+v.

Cette écriture de la fonction est appelée forme canonique.

Démonstration :

On développe {\alpha}\left( x-u\right) ^{2}+v={\alpha}\left( x^{2}-{2}ux+u^{2}\right) +v
\  \  \  \  \  \  \  \  \  \  \  \  ={\alpha}x^{2}-{2}{\alpha}ux+v+{\alpha}u^{2}.

On identifie {\alpha}x^{2}-{2}{\alpha}ux+v+{\alpha}u^{2}=ax^{2}+bx+c\left \{ \matrix{{\alpha}=a \cr -{2}{\alpha}u=b \cr v+{\alpha}u^{2}=c} \right .\left \{ \matrix{ {\alpha}=a  \cr  u=-{\frac{b}{{2}{\alpha}}}  \cr  v=c-{\alpha}u^{2} } \left \{ \matrix{{\alpha}=a  \cr  u=-{\frac{b}{{2}a}}  \cr  v=c-\frac{b^{2}}{{4}a}=\frac{4ac-b^{2}}{{4}a}} \right ..

Puisque a\neq{0}, les nombres α, u et v sont définis pour toute fonction polynôme.


Exercice type


Soit la fonction g définie sur R par g(x)=2x²-8x+3

a) Donner la forme canonique de g.

b) Démontrer que g admet un minimum sur R.


a ) On cherche les nombres u et v tels que g \left( x\right) ={2}\left( x-u\right) ^{2}+v

On calcule : u=-{\frac{b}{{2}a}}=\frac{8}{4}={2} et v=\frac{{4}ac-b^{2}}{{4}a}=-{\frac{40}{8}}=-{5} .

L a forme canonique est : g \left( x\right) ={2}\left( x-{2}\right) ^{2}-{5} .

b ) On conjecture que le minimum de g sur R est -5.

On résout : g(x)=-5.

S=\{2\}.

On démontre que, pour tout x réel, g(x)\geq {-5}.

On sait que, pour tout x réel :

\left( x-{2}\right) ^{2} \geq {0}
\Leftrightarrow  {2}\left( x-{2}\right) ^{2} \geq {0}
\Leftrightarrow  {2}\left( x-{2}\right) ^{2}-{5} \geq -{5}
\Leftrightarrow  g\left( x\right)  \geq -{5}

Donc, pour tout x réel, g\left( x\right)  \geq -{5}

Puisque -5 est la plus petite image atteinte par g, -5 est le minimum de g sur R. Il est atteint en 2.


http://proglab.fr/pxh022
Algorithme - Ex 6 page 234


3. Variations d’une fonction polynôme du second degré
Théorème :

Soit f une fonction polynôme de degré 2 définie sur ℝ par f\left( x\right) =ax^{2}+bx+c et sa forme canonique f\left( x\right) =a\left( x-u\right) ^{2}+v.

Le tableau de variations de f sur ℝ est :

Si a>0 :

JPEG - 13.4 ko
Variations a positif

Si a<0 :

JPEG - 6.5 ko
Variations a négatif



Démonstration :

Voir corrigé du DM1.


4. Courbe représentative d’une fonction polynôme du second degré
Théorème (admis) :

Soit f une fonction polynôme de degré 2 et sa forme canonique f\left( x\right) ={\alpha}\left( x-u\right) ^{2}+v.

La courbe représentative de la fonction f dans un repère orthogonal est une parabole de sommet \text{S}\left( u \mathrm{;} v\right) .



Théorème :

Soit f une fonction polynôme de degré 2 et sa forme canonique f\left( x\right) ={\alpha}\left( x-u\right) ^{2}+v.

La parabole représentative de f admet la droite d’équation x=u comme axe de symétrie.


Démonstration :

On considère un réel a et les nombres x₁=u+a et x₂=u-a.

On calcule f\left( x₁\right) =\text{α}\left( u-a-u\right) ^{2}+v=\text{α}a^{2}+v et f\left( x₂\right) =\text{α}\left( u+a-u\right) ^{2}+v=\text{α}a^{2}+v. On a donc f\left( x₁\right) =f\left( x₂\right)  .

Les points \text{A}\left( x₁ \mathrm{;} f\left( x_{1}\right) \right) et \text{B}\left( x₂ \mathrm{;} f\left( x_{2}\right) \right) ont même ordonnée. La droite (AB) est donc perpendiculaire à l’axe des ordonnées.

De plus, u est la moyenne de leurs abscisses. Ils sont donc symétriques par rapport à la droite d’équation x=u.


Exercice type

Soit la fonction f définie sur R par f(x)=3x²-2x+1.

Déterminer la forme canonique de f.



La forme canonique de f est de la forme a\left( x-u\right) ^{2}+va={3} .

On résout l’équation f \left( x\right) =f\left( {0}\right) .

{3}x^{2}-{2}x+{1}={1}
\Leftrightarrow  {3}x^{2}-{2}x={0}
\Leftrightarrow  x\left( {3}x-{2}\right) ={0}
\Leftrightarrow  x={0} ou x=\frac{2}{3} .
Les solutions sont
 \text{S}= \left \{ {0} \mathrm{;} \frac{2}{3} \right \} .

Par symétrie, on en déduit : u=\frac{{0}+{\frac{2}{3}}}{2}=\frac{1}{3} .

On calcule v=f\left( u\right)  =f \left(\frac{1}{3} \right)=\frac{2}{3} .

Alors la forme canonique de f est f \left( x\right) ={3} \left(x-{\frac{1}{3}} \right)^{2}+\frac{2}{3} .

Exercices

Voici quelques exercices pour vous entraîner.


Signe

II – Signe d’une fonction polynôme du second degré

1. Racines d’une fonction


Définition :
On appelle racine d’une fonction f toute solution de l’équation f (x)=0.


2. Racines réelles d’une fonction polynôme du second degré


Démonstration :

On considère une fonction polynôme du second degré f \left( x\right) =ax^{2}+bx+c.

On détermine sa forme canonique : f \left( x\right) =a \left(x+\frac{b}{{2}a} \right)^{2}-\frac{b^{2}-{4}ac}{{4}a}.

Alors f \left( x\right) ={0}a \left(x+\frac{b}{{2}a} \right)^{2}-\frac{b^{2}-{4}ac}{{4}a}=0a \left(x+\frac{b}{{2}a} \right)^{2}=\frac{b^{2}-{4}ac}{{4}a}.

Pour déterminer l’existence de solutions, on s’intéresse aux signes des membres de l’équation.

Quel que soit le signe de a , a \left(x+\frac{b}{{2}a} \right)^{2} est du même signe.

Si a>{0}, \frac{b^{2}-{4}ac}{{4}a} est positif si et seulement si b^{2}-{4}ac >={0}.

Si a<{0}, \frac{b^{2}-{4}ac}{{4}a} est négatif si et seulement si b^{2}-{4}ac >= {0}.

Donc, quel que soit le signe de a , l’équation f \left( x\right) ={0} n’a des solutions que si b^{2}-{4}ac >= {0}.

Pour déterminer la valeur des solutions, on résout l’équation d’inconnue x .

f \left( x\right) ={0}a \left(x+\frac{b}{{2}a} \right)^{2}=\frac{b^{2}-{4}ac}{{4}a} \left(x+\frac{b}{{2}a} \right)^{2}=\frac{b^{2}-{4}ac}{{4}a^{2}}x+\frac{b}{{2}a}= +- \frac{ \sqrt {b^{2}-{4}ac}}{{2}a}x=\frac{{-b+- \sqrt {b^{2}-{4}ac}}}{{2}a}.


Théorème :

Soit f une fonction polynôme de degré 2 définie sur ℝ par f\left( x\right) =ax^{2}+bx+c.

On définit le discriminant  \mathrm{\Delta}=b^{2}-{4}ac.

Si  \mathrm{\Delta}<{0}, la fonction f n’admet pas de racines réelles.

Si  \mathrm{\Delta}={0}, la fonction f admet une racine double : x₀=-{\frac{b}{{2}a}}.

Si  \mathrm{\Delta}>{0}, la fonction f admet deux racines : x_{1}=\frac{-b- \sqrt { \mathrm{\Delta}}}{{2}a} et x_{2}=\frac{-b+ \sqrt { \mathrm{\Delta}}}{{2}a}.


Exercice type :

Soient les fonctions f et g définies sur R par f(x)=2x²-8x+3 et g(x)=3x²+6x+3.

Calculer les racines de f et de g sur R.

On résout l’équation f\left( x\right) ={0} .

On calcule le discriminant de la fonction f.

 \mathrm{\Delta}=\left( -{8}\right) ^{2}-{4} \times {2} \times {3}={64}-{24}={40} .

Puisque \text{Δ}>{0} , la fonction f admet deux racines.

 x_{1}=\frac{{8}- \sqrt {40}}{4}={2}-\frac{ \sqrt {10}}{2} Et x_{2}=\frac{{8}+ \sqrt {40}}{4}={2}+\frac{ \sqrt {10}}{2} .

L’ensemble des solutions est  \text{S}= \left \{ {2}-\frac{ \sqrt {10}}{2} \mathrm{;} {2}+{\frac{ \sqrt {10}}{2}} \right \} .

On résout l’équation g\left( x\right) ={0} .

On calcule le discriminant de la fonction g .

\text{Δ}={6}^{2}-{4} \times {3} \times {3}={0} .

Puisque \text{Δ}={0} , la fonction f admet une racine double .

x_{0}=-{\frac{6}{6}}={1} .

L’ensemble des solution s est \text{S}=\left \{ {1} \right \} .



3. Forme factorisée d’une fonction polynôme du second degré


Théorème :

Soit f une fonction polynôme de degré 2 définie sur ℝ par f\left( x\right) =ax^{2}+bx+c dont les racines sont x₁ et x₂ .

La forme factorisée de f est f \left( x\right) =a\left( x-x_{1}\right) \left( x-x_{2}\right) .

Soit g une fonction polynôme de degré 2 définie sur ℝ par g \left( x\right) =ax^{2}+bx+c dont la racine double est x₀.

La forme factorisée de g est g \left( x\right) =a\left( x-x_{0}\right) ^{2}.


Démonstration :

Il suffit de développer la forme factorisée.



4. Étudier le signe d’une fonction polynôme du second degré


Exercice type

On considère la fonction définie sur R par f(x)=2x²-4x-4.

Résoudre l’inéquation f(x)>26.


On a : f\left( x\right) >{26}{2}x^{2}-{4}x-{4}>{26}{2}x^{2}-{4}x-{30}>{0} .

On considère g\left( x\right) ={2}x^{2}-{4}x-{30} .

Alors f\left( x\right) >{26}g\left( x\right) >{0} .

On détermine le discriminant de g .

\text{Δ}={16}+{240}={256} .

Puisque \text{Δ}>{0} , g admet 2 racines :

x_{1}=\frac{{4}- \sqrt {256}}{4}=-{3} et x_{2}=\frac{{4}+ \sqrt {256}}{4}={5} .

La forme factorisée de g est g\left( x\right) ={2}\left( x-{5}\right) \left( x+{3}\right) .

On établit le tableau de signes :

x – ∞ –3 5 + ∞
\text{Signe de } x-{5} \vdots 0 +
\text{Signe de } x+{3} 0 + \vdots +
\text{Signe de } g + 0 0 +

L’ensemble solution est \text{S}=]–∞ \mathrm{;} -{3}[ \cup ]{5} \mathrm{;} +∞[





5. Somme et produit des racines d’une fonction polynôme du second degré


Théorème :

Soit f une fonction polynôme de degré 2 définie sur ℝ par f\left( x\right) =ax^{2}+bx+c dont les racines sont x_1 et x_2 .

On a : x_{1}+x_{2}=-{\frac{b}{a}} et x_{1} \times x_{2}=\frac{c}{a}.

Démonstration :

Exercice 110 page 86

Exercices

Voici quelques exercices pour vous entraîner.




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