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Proportionnalité - Mathématiques

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Proportionnalité

vendredi 19 mai 2017, par David Rodrigues

Proportionnalité

Proportionnalité

I – Proportionnalité

1. Grandeurs proportionnelles
Définition  :
Deux grandeurs sont proportionnelles quand les valeurs de l’une peuvent se calculer en multipliant par un même nombre non nul les valeurs de l’autre.
Ce nombre est appelé un coefficient de proportionnalité.


Exercice type :

Dans chaque situation, déterminer si grandeurs sont proportionnelles. Justifier.
1. Quand il avait 1 ans, Maël pesait 6 kg. Maintenant qu’il a 8 ans, Combien pèse-t-il ?
2. Dans une ferme, on élève les poulets pour les vendre à une chaîne de restauration spécialisée dans les ailes de poulet. Actuellement, il y a 650 poulets en élevage. Combien y a-t-il d’ailes de poulet ?



1. Les grandeurs sont l’âge de Maël et sa masse corporelles. Elles ne sont pas proportionnelles, parce que sinon, à 8 ans, il pèserait $ 8 /times 8 kg = 64 kg $.
2. Les grandeurs sont le nombre de poulets et le nombre d’ailes de poulet. Elles sont proportionnelles car chaque poulet a 2 ailes.


2. Formules de géométrie et proportionnalité


Exercice type :

Des formules suivantes, indiquer lesquelles expriment la proportionnalité entre deux grandeurs. Justifier.

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Formules de géométrie



Les formules d’aire expriment le produit de deux longueurs. Elles n’expriment pas de proportionnalité.
La formule du périmètre d’un carré exprime une relation de proportionnalité entre la longueur du côté du carré et son périmètre. Un coefficient de proportionnalité est 4.
La formule du périmètre d’un cercle exprime une relation de proportionnalité entre la longueur du diamètre (ou du rayon) et le périmètre. Un coefficient de proportionnalité est $/pi $.

Problèmes

II – Résoudre un problème de proportionnalité

1. Détermination d’un coefficient de proportionnalité (ou retour à l’unité)


Exercice type :

Pour fabriquer du carburant pour moteur deux temps, on mélange 2 litres d’huile et 3L d’essence.
Combien d’essence faut-il mélanger à 4,5L d’huile ?

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Coefficient de proportionnalité










2. Relations de linéarité


Exercice type :

Un vendeur a reçu une prime de 500€ pour avoir réalisé 8000€ de ventes.
En supposant que la situation est proportionnelle, compléter le tableau.

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Relations de linéarité









3. Pourcentages
Définition  :
Un pourcentage est une écriture fractionnaire dont le dénominateur est 100.


Exercice type :

Le jour des soldes, une paire de chaussures à 120€ est soldée à 35%. Quel est son nouveau prix ?


On calcule la réduction : 35% de 120.
${\frac{35}{100}} \times {120}=\frac{{35} \times {120}}{100}={42}$
La réduction est de 42 €.

On calcule le nouveau prix :
${120}-{42}={78}$
La nouveau prix est 78 €.


Exercice type :

Le prix d’un litre d’essence était de 1,35 € en 2011. Il est de 1,55 € aujourd’hui. Quel est le pourcentage d’augmentation ?


On calcule l’augmentation :
${1,55}-{1,35}={0,20}$.
Le prix a augmenté de 0,20 €.

On calcule le pourcentage d’augmentation.
$\frac{0,20}{1,35}=\frac{20}{135}≈\frac{14,8}{100}$.
Le pourcentage d’augmentation est d’environ 14,8 %.



4. Échelles
Définition  :
On considère une représentation (un plan, une carte, une maquette…) dont les dimensions sont proportionnelles aux dimensions réelles.
L’échelle de cette représentation est un coefficient de proportionnalité entre les longueurs réelles et représentées.
Elle s’exprime souvent sous forme fractionnaire : $ \frac{\text{longueur sur le plan}}{\text{longueur réelle}}$.


Exercice type :

Sur la maquette d’une maison à l’échelle 1/48 :
Quelle est la longueur réelle d’une pièce dont la longueur représentée est 12 cm ?
Quelle est la longueur sur la maquette d’une pièce de 7,2 m de long en réalité ?



On calcule la longueur réelle de la première pièce.
${12} \times {48}={576}$
La longueur réelle est 576 cm, soit 5,76 m.

On calcule la longueur représentant 7,2 m.
$\frac{7,2}{48}={0,15}$
La longueur sur la maquette est 0,15 m, soit 15 cm.


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