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Solides - Mathématiques

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Solides

lundi 22 mai 2017, par David Rodrigues

Boule et sphère

Boule et sphère


Sphères et boules par minicours


I – Boule et sphère

Définitions :
La sphère de centre O et de rayon R (R>0) est l’ensemble des points M de l’espace tels que OM=R.
La boule de centre O et de rayon R (R>0) est l’ensemble des points M de l’espace tels que OM≤R.

Remarque : Une surface est un ensemble de points,
Une sphère est donc l’enveloppe extérieure d’une boule.
L’utilisation de 2 termes différents permet de lever l’ambiguïté qui existe pour d’autres solides entre la surface extérieure et l’intérieur.


Exercice type :

Construire :
- une sphère en perspective cavalière (rayon 2,5cm, centre O) ;
- un diamètre [MN] ;
- deux grands cercles ;
- deux points C et D diamétralement opposés ;
- un point S sur la sphère ;
- un point B qui appartient à la boule mais pas à la sphère ;
- un point Q qui n’appartient pas à la boule.



Propriété (admise) :
On considère une sphère de rayon R. On calcule son aire à l’aide de la relation : $\text{A}={4}\pi\text{R}^{2}$.


Propriété (admise) :
On considère une boule de rayon R. On calcule son volume à l’aide de la relation : $ \text{V}=\frac{4}{3}\pi\text{R}^{3}$.


Sections planes

II – Sections planes d’un solide

1. Positions relatives d’un plan et d’une sphère
Propriétés (admises) :
Si le plan est extérieur à la sphère, il n’y a aucun point commun.
Si le plan est tangent à la sphère, il y a exactement un point commun.
Si le plan non tangent coupe la sphère, la section est un cercle.


Propriété (admise) :
La section d’une sphère de centre O par un plan non tangent est un cercle.
Si on note O’ le centre du cercle, tout diamètre du cercle est perpendiculaire à (OO’).


Remarque : Un plan passant par le centre de la sphère détermine un grand cercle.




2. Sections d’autres solides
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Section parallèle d’un parallélépipède rectangle

La section d’un parallélépipède rectangle par un plan parallèle à une face est un rectangle de mêmes dimensions que cette face.

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Section oblique d’un parallélépipède rectangle

La section d’un parallélépipède rectangle par un plan parallèle à une arête est un rectangle.

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Section parallèle d’un cylindre

La section d’un cylindre par un plan perpendiculaire à l’axe du cylindre est un disque de même rayon que la base du cylindre.

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Section perpendiculaire d’un cylindre

La section d’un cylindre par un plan parallèle à l’axe du cylindre est un rectangle.

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Section d’un cône

La section d’un cône par un plan parallèle à sa base est un cercle dont le centre est le point d’intersection du plan avec l’axe du cône.
Le plan (P) coupe le cône selon le cercle de centre H.
Le cône de hauteur [SH] est une réduction du cône de hauteur [SO].

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Section d’une pyramide

La section d’une pyramide par un plan parallèle à sa base est un polygone qui est une réduction de la base.
Dans ce cas la pyramide obtenue est une réduction de la pyramide initiale


3. Agrandissement - réduction
Définitions :
Soit k un réel strictement positif.
On multiplie les longueurs d’une figure par k.
Si k>1, alors cette transformation est un agrandissement.
Si 0 On dit que k est le coefficient d’homothétie


Propriétés :
Si on multiplie les longueurs d’une figure par un nombre positif k, alors son aire est multipliée par k².
Si on multiplie les longueurs d’une figure par un nombre positif k, alors son volume est multiplié par k³.


Démonstration sur des exemples

On considère l’aire d’un triangle. $ \text{A}=\frac{c \times h}{2}$. Si on multiplie toutes les longueurs par k, $ \text{A}_k=\frac{ck \times hk}{2}=\frac{c \times h}{2} \times k^{2}$.

On considère le volume d’un cône. $ \text{V}={\frac{1}{3}}\pi \times \text{R}^{2} \times h$. Si on multiplie toutes les longueurs par k, $ \text{V}_k={\frac{1}{3}}\pi \times \left( \text{R} \times k\right) ^{2} \times hk={\frac{1}{3}}\pi \times \text{R}^{2} \times h \times k^{3}$.


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