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Fonctions - Variations - Mathématiques

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Fonctions - Variations

lundi 22 mai 2017, par David Rodrigues

Fonctions numériques – Étude qualitative

Tableau de variations

I – Tableau de variations d’une fonction numérique



Un tableau de variations est un outil permettant de résumer certaines propriétés d’une fonction :

  • son ensemble de définition
  • le sens de ses variations
  • ses intervalles de monotonie
  • ses valeurs extrêmes


Exercice type

Soit la fonction g définie sur [-1 ;4] par $g\left( x\right) =\frac{ 1 } { 3 } x^{3} - 2 x^{2} + 3 x + 1$ et C g sa courbe représentative dans le repère orthonormal ci-dessous.

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Établir le tableau de variations de g .


On remarque sur la courbe les points A et B d’abscisse respective 1 et 3 .
On en déduit que la valeur maximale de g sur [-1 ;3] est atteinte pour x= 1 et qu e la valeur minimale de g sur [1 ;4] est atteinte pour x= 4.

On détermine les images correspondant à ces valeurs (par lecture graphique ou par le calcul) :
$g\left( {1}\right) =\frac{7}{3}$ et $g\left( {3}\right) ={1}$ .

On détermine également les images des bornes de l’ensemble de définition si elles existent (par lecture graphique ou par le calcul) :
$g\left( -{1}\right) =-{\frac{13}{3}}$ et $g\left( {4}\right) =\frac{7}{3}$ .

Graphiquement, on identifie les intervalles sur lesquels la fonction est strictement monotone.

Quand x augmente de -1 à 1, g (x) augmente :
g est croissante sur [-1 ;1].
Quand x augmente de 1 à 3, g (x) diminue :
g est décroissante sur [1 ;3].
Quand x augmente de 3 à 4, g (x) augmente :
g est croissante sur [3 ;4].

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Extrema

II – Extrema d’une fonction numérique

1. Maximum et Minimum
Définition :

Dire qu’une fonction f atteint son maximum sur un intervalle I en a signifie : $\left \{ \matrix{{a \in \text{I}} \cr {\text{Pour tout }x \in \text{I}, f\left( x\right) \leq f\left( a\right) }} \right . $.

Alors la valeur $f\left( a\right) $ est appelé maximum de f sur I.

Remarque : Le maximum d’une fonction sur un intervalle est la plus grande valeur atteinte par la fonction sur cet intervalle.


Définition  :

Dire qu’une fonction f atteint son minimum sur un intervalle I en a signifie : $\left \{ \matrix{{a \in \text{I}} \cr {\text{Pour tout }x \in \text{I}, f\left( x\right) \geq f\left( a\right) }} \right . $.

Alors la valeur $f\left( a\right) $ est appelé minimum de f sur I.

Remarque : Le minimum d’une fonction sur un intervalle est la plus petite valeur atteinte par la fonction sur cet intervalle.

2. Déterminer un extremum par le calcul


Exercice type

Soit la fonction g définie sur ]–∞ ;+∞[ par $g\left( x\right) =\left( x+{3}\right) ^{2}-{2}$.

Démontrer que -2 est le minimum de g sur ℝ et déterminer la valeur de la variable qui minimise g .



Pour tout x réel, $\left( x+{3}\right) ^{2} \geq {0}$ (un carré est toujours positif).

Donc, pour tout x réel, $\left( x+{3}\right) ^{2}-{2} \geq -{2}$ .

Alors, pour tout x réel, $g\left( x\right) \geq -{2}$ .


On cherche les antécédents éventuels de -2 par g,

On résout $g\left( x\right) =-{2}$ .

$\left( x+{3}\right) ^{2}-{2}=-{2}$

$\left( x+{3}\right) ^{2}={0}$

$x+{3}={0}$

$x=-{3}{}$


On a $\left \{ \matrix{{g\left( -{3}\right) =-{2}} \cr { \forall x \in \mathbb{R} , g\left( x\right) ≥ -{2}}} \right .$ . Par définition, le minimum de g est -2. Il est atteint en -3.


Exercice type

Soit la fonction g définie sur ]–∞ ;+∞[ par $f\left( x\right) ={6}-{2}\left( x-{1}\right) ^{2}$.

Déterminer $f\left( {1}\right) $. Démontrer que $f\left( {1}\right) $ est le maximum de f sur ℝ.


On calcule $f\left( {1}\right) $ .

$f\left( {1}\right) ={6}-{2}\left( {1}-{1}\right) ^{2}={6}$ .



On veut montrer que, pour tout x réel, on a $f\left( x\right) ≤f\left( {1}\right) $ .

Pour tout x réel, $\left( x-{1}\right) ^{2}≥{0}$ (un carré est toujours positif).

$-{2}\left( x-{1}\right) ^{2}≤{0}$ .

${6}-{2}\left( x-{2}\right) ^{2}≤{6}$ .

$f\left( x\right) ≤{6}$ .


On a $\left \{ \matrix{{f\left( {1}\right) ={6}} \cr { \forall x \in \mathbb{R} , f\left( x\right) \leq {6}}} \right .$ . Par définition, le maximum de f est 6 . Il est atteint en 1 .


Sens de variations

III – Sens de variation d’une fonction

1. Variations d’une fonction
Définition  :

Dire qu’une fonction f est strictement croissante sur un intervalle I signifie :

Pour tous réels a et b de I, si $a < b$, alors $f\left( a\right) < f\left( b\right) $.

Remarque : Une fonction f est strictement croissante sur I si et seulement si les réels de I et leurs images par f sont rangés dans le même ordre.


Définition  :

Dire qu’une fonction f est strictement décroissante sur un intervalle I signifie :

Pour tous réels a et b de I, si $a < b$, alors $f\left( a\right) > f\left( b\right) $.

Remarque : Une fonction f est strictement décroissante sur I si et seulement si les réels de I et leurs images par f sont rangés dans l’ordre inverse.


Exemples  : On considère la fonction f définie sur ℝ dont une partie de la courbe représentative est donnée ci-dessous.

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f est strictement croissante sur [0 ;1,5].
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f est strictement décroissante sur [-2 ;0].


Définition :

Dire qu’une fonction f est constante sur un intervalle I signifie :
Pour tous réels a et b de I, $f\left( a\right) =f\left( b\right) $.


Exercice type

Soit la fonction f définie sur ]–∞ ;+∞[ par $f\left( x\right) ={3}x+{1}$.

Déterminer le sens de variation de f sur ℝ.


On considère deux nombres réels a et b tels que $a < b$.

Alors $a < b$

${3}a < {3}b$

${3}a+{1} < {3}b+{1}$

$f\left( a\right) < f\left( b\right) $

Pour tous réels a et b, on a $a < b$$f\left( a\right) < f\left( b\right) $ .

Donc f est strictement croissante sur .


Soit la fonction g définie sur ]–∞ ;+∞[ par $g\left( x\right) =-x+{2}$.

Déterminer le sens de variation de g sur ℝ.


On considère deux nombres réels a et b tels que $a < b$ .

Alors $a < b$

$-a > -b$

$-a+{2} > -b+{2}$

$g\left( a\right) > g\left( b\right) $

Pour tous réels a et b, on a $a < b$$g\left( a\right) > g\left( b\right) $ .

Donc g est strictement décroissante sur .


2. Comparer des images par une fonction


Exercice type

Soit la fonction f dont le tableau de variations est donné ci-dessous,

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Comparer si possible :
1. f(2) et f(3)
2. f(-1) et f(0)
3. f(0) et f(4)
4. f(0) et f(11)


1. On a : 1<2<3<5.
Et f est strictement croissante sur [1 ;5].
Donc 2<3 ⇒ f(2)

2. On a : -2<-1<0<1.
Et f est strictement décroissante sur [-2 ;1].
Donc -1<0 ⇒ f(-1)>f(0)

3. On a : -2<0<1.
Et f est strictement décroissante de 1 à 0 sur [-2 ;1]
On a : 1<4<5.
Et f est strictement croissante de 0 à 3 sur [1 ;5].
Les intervalles images [0 ;1] et [0 ;3] ne sont pas disjoints.
On ne peut pas conclure.

4. On a : -2<0<1.
Et f est strictement décroissante de 1 à 0 sur [-2 ;1]
On a : 7<11<15.
Et f est strictement croissante de -7 à -1 sur [1 ;5].
Les intervalles images [0 ;1] et [-7 ;-1] sont disjoints .
On peut donc établir : f(11)<-1 et 0Alors f(11)


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