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Suites numériques - Mathématiques

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Suites numériques

jeudi 18 mai 2017, par David Rodrigues

Suites numériques

Suite numérique

I – Suite numérique

1. Définition
Définition  :

On appelle suite numérique une fonction définie sur ℕ, à valeurs dans ℝ.

A tout entier naturel n , une suite numérique $\left( u\right) $ associe une unique image réelle, notée $u\left( n\right) $ ou $u_n$.


Exercice type

On considère la suite numérique (u) définie par u(n)=2n+3.
Déterminer les images de 5, 12 et 19 par la suite (u).


On calcule $u\left( {5}\right) ={2} \times {5}+{3}={13}$ .

On calcule $u\left( {12}\right) ={2} \times {12}+{3}={27}$ .

On calcule $u\left( {19}\right) ={2} \times {19}+{3}={41}$ .


Définition  :

Soit une suite $\left( u\right) $ un entier p et un réel $y$.

Si $u\left( p\right) =y$, on dit que y est le terme de rang p de $\left( u\right) $.




2. Relation de récurrence


Exercice type

On considère la suite numérique (w) définie par
$\left \{ \matrix{ w\left( n+{1}\right) =w\left( n\right) -{1} \cr w\left( {0}\right) ={10} } \right .$
Déterminer le 5e terme de cette suite.


Pour calculer un terme, il faut connaître le précédent.

On calcule $w\left( {1}\right) =w\left( {0}\right) -{1}={10}-{1}={9}$

On calcule $w\left( {2}\right) =w\left( {1}\right) -{1}={9}-{1}={8}$

On calcule $w\left( {3}\right) =w\left( {2}\right) -{1}={8}-{1}={7}$

On calcule $w\left( {4}\right) =w\left( {3}\right) -{1}={7}-{1}={6}$



Sens de variations

II – Sens de variation

Définitions :
On dit qu’une suite est strictement croissante sur N si, pour tout n, on a $u\left( n+{1}\right) > u\left( n\right) $.
On dit qu’une suite est strictement décroissante sur N si, pour tout n, on a $u\left( n+{1}\right) < u\left( n\right) $.
On dit qu’une suite est constante sur N si, pour tout n, on a $u\left( n+{1}\right) =u\left( n\right) $.


Exercice type

Soit la suite (u) définie par $u(n)=3n-2$.
Déterminer le sens de variations de (u).



On exprime $u(n+1)-u(n)$
$u\left( n+{1}\right) -u\left( n\right) =[{3}\left( n+{1}\right) -{2}]-[{3}n-{2}]={3}n+{3}-{2}-{3}n+{2}={3}$
Alors, pour tout n, $u\left( n+{1}\right) -u\left( n\right) >{0}$, donc $u\left( n+{1}\right) >u\left( n\right) $.
La suite (u) est strictement croissante sur N.


Exercice type

Soit la suite (v) définie par $v\left( n\right) =\frac{1}{n+{2}}$.
Déterminer le sens de variations de (v).



On exprime $\frac{v\left( n+{1}\right) }{v\left( n\right) }$.
$\frac{v\left( n+{1}\right) }{v\left( n\right) }=\frac{\frac{1}{\left( n+{1}\right) +{2}}}{\frac{1}{n+{2}}} ={\frac{n+{2}}{n+{3}}}$.
Alors, pour tout n, $\frac{v\left( n+{1}\right) }{v\left( n\right) }<{1}$, donc $v\left( n+{1}\right) < v\left( n\right) $.
La suite (v) est strictement décroissante sur N.




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