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Fonctions numériques - Mathématiques

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Fonctions numériques

vendredi 9 juin 2017, par David Rodrigues

Fonctions numériques

Fonctions numériques

I – Fonctions numériques

1. Fonction numérique
Définition  :
Une fonction numérique est un objet mathématique, qui, à tout nombre d’un ensemble de nombres, associe un nombre unique.

On note $f : x \mapsto f\left(x\right)$

f est la fonction qui, à x, associe le nombre f(x)

2. Exprimer une grandeur en fonction d’une autre


Quand on peut déterminer les valeurs d’une grandeur I à l’aide des valeurs d’une autre grandeur A, on exprime I en fonction de A.

Exercice type :

Exprimer la valeur du périmètre d’un carré en fonction de la longueur de son côté.
Exprimer la valeur de l’aire d’un disque en fonction de la longueur de son rayon.
Exprimer le prix d’un article soldé à 20% en fonction du prix d’origine de l’article.



Si on note la longueur du côté (en cm) et le périmètre (en cm²) : $\text{P}\left( c\right) ={4} \times c$.
Si on note l’aire du disque (en cm²) et son rayon (en cm) : $\text{A}\left( \text{R}\right) =\pi \times \text{R}^{2}$.
Si on note le prix soldé et le prix d’origine (dans la même unité de prix) : $\text{S}\left( p\right) ={0,8} \times p$.



3. Vocabulaire
Définition  :
Soit a et b deux nombres réels.
Si $f(a)=b$, on dit que b est l’image de a par f et que a est un antécédent de b par f.



Remarque  : L’image d’un nombre par une fonction est unique, mais un nombre peut avoir plusieurs antécédents par une fonction.

Exercice type :

Traduire chaque phrase par une égalité, puis reformuler en utilisant le mot « antécédent ».

Par la fonction g, −5,3 est l’image de 6. g(6)=-5,3 6 est un antécédent de -5,3 par g
2,5 a pour image 4,2 par la fonction f. f(2,5)=4,2 2,5 est un antécédent de 4,2 par f
L’image de 3 par la fonction h est 7. h(3)=7 3 est un antécédent de 7 par h
Par la fonction p, −4 a pour image −6,5. p(-4)=-6,5 -4 est un antécédent de -6,5 par p
L’image de 5 par la fonction m est nulle. m(5)=0 5 est un antécédent de 0 par m


Déterminer l’image ou un antécédent

II – Déterminer l’image ou un antécédent

1. Fonction définie par un tableau de valeurs


Exercice type :

Voici une fonction statistique qui, à chaque note au devoir de mathématiques, associe le nombre d’élèves de 2nde qui ont obtenu cette note.

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1. Déterminer l’image de 12 par cette fonction.
2. Déterminer les antécédents de 2 par cette fonction.



1. L’image de 12 par cette fonction est 0.
2. Le nombre 2 a plusieurs antécédents par la fonction : 10, 13, 16,5, 17 et 18.


2. Fonction définie par une expression algébrique


Exercice type :

On considère la fonction $f : x \mapsto 2x+3$.
1. Déterminer l’image de 7 par cette fonction.
2. Déterminer les antécédents de 11 par cette fonction.



1. On calcule $f\left( {7}\right) ={2} \times {7}+{3}={14}+{3}={17}$.
L’image de 7 par f est 17.
2. On résout l’équation :
$ \begin{array} {f(x)} &=& 0\\ 2x+3 &=& 0\\ 2x &=& 8\\ x &=& 4\\ \end{array} $
On vérifie : $f\left( {4}\right) ={2} \times {4}+{3}={8}+{3}={11}$.
Le seul antécédent de 11 par f est 4.


Représentation graphique

III – Représentation graphique

1. Courbe représentative d’une fonction dans un repère
Définition  :
Soit une fonction f définie sur un ensemble de nombres d.
Dans le plan muni d’un repère, on appelle courbe représentative de f, notée Cf, l’ensemble des points tels que $y=f(x)$ quand x prend toutes les valeurs de d.


Corollaire  :
Si un point $M(x_M;y_M)$ appartient à Cf, alors $y_M=f(x_M)$.
Si les coordonnées d’un point M vérifient $y_M=f(x_M)$, alors le point M appartient à Cf.



2. Cas d’une fonction définie par un tableau de valeurs


Exercice type :

Soit une fonction f définie par le tableau de valeurs suivant :

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Construire sa représentation graphique.


On crée le nuage de points en utilisant le tableau de valeurs.
On ne relie pas les points obtenus.


3. Cas d’une fonction définie par une expression algébrique


Exercice type :

Soit une fonction f définie sur [-2 ;6] par : $f\left( x\right) ={5}-{\frac{1}{2}}\left( x-{2}\right) ^{2}$
Construire sa représentation graphique.



On crée un tableau de valeurs (calcul, calculatrice, tableur).
On crée le nuage de points en utilisant le tableau de valeurs.


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