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Triangles - Mathématiques

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Triangles

jeudi 29 juin 2017, par David Rodrigues

Triangles

Construction

I – Construire un triangle

1. Connaissant trois longueurs

Exercice type :

Construire le triangle PRO tel que $\text{PO}={6} cm$ , $\text{RO}={4}cm$ et $\text{PR}={7}cm$ .

Méthode  : On construit un côté du triangle à la règle graduée, puis le sommet opposé au compas (report des longueurs).


2. Connaissant deux longueurs et un angle

Exercice type :

Construire le triangle NUL tel que $\text{UL}={9}cm$ , $\text{NU}={7}cm$ et $ \widehat{\text{NUL}} ={35}°$ .

Méthode  : On construit l’angle , puis on reporte les longueurs sur les côtés de l’angle pour déterminer les sommets N et L.



Construire le triangle FEZ tel que $\text{FE}={5}cm$ , $\text{FZ}={6,5}cm$ et $ \widehat{\text{FEZ}} ={20}°$ .

Méthode  : On construit l’angle , puis on reporte la longueur FE sur un côté de l’angle pour déterminer F. Enfin, on construit Z à une intersection de l’autre côté de l’angle avec le cercle de centre F et de rayon FZ.


3. Connaissant une longueur et deux angles

Exercice type :

Construire le triangle HAT tel que $\text{HA}={5}cm$ , $ \widehat{\text{HAT}} ={140}°$ et $ \widehat{\text{THA}} ={20}°$

Méthode  : On construit le côté HA à la règle graduée, puis on construit les angles $ \widehat{\text{A}}$ et $ \widehat{\text{H}}$. L’intersection des côtés des angles est le sommet T.



4. Constructibilité d’un triangle
Propriété d’inégalité triangulaire (admise) :
Soit un triangle ABC. On a : $\text{AB}+\text{BC} \leq \text{AC}$.
Si AB+BC=AC, alors $\text{B} \in [\text{AC}]$. On dit que ABC est un triangle plat.



5. Somme des angles d’un triangle
Propriété  :
Soit un triangle ABC.
La somme des angles d’un triangle est un angle plat (180°).



Démonstration :

Soit un triangle ABC et (d) la parallèle à (BC) passant par A.
Les angles et ont un alterne-interne dont le sommet est A de sorte que les 3 angles sont supplémentaires.
Puisque (d)//(BC), les alternes-internes sont égaux. Alors les 3 angles d’un triangle sont supplémentaires.


Droites remarquables

II – Droites remarquables d’un triangle

1. Médiatrices
Définition  :
La médiatrice d’un segment est la droite perpendiculaire à ce segment passant par son milieu.


Propriété d’équidistance :
Si un point appartient à la médiatrice d’un segment, alors il est équidistant des deux extrémités du segment.
Réciproquement, si un point est équidistant des deux extrémités d’un segment, alors il appartient à sa médiatrice.

Élément de démonstration :

La médiatrice est l’axe de symétrie du segment.


2. Cercle circonscrit
Définition  :
Le cercle circonscrit à un triangle est le cercle qui contient les 3 sommets du triangle.


Propriété  :
Le point d’intersection des médiatrices est le centre du cercle circonscrit au triangle.


Démonstration :

Soit un triangle ABC et O le point d’intersection des médiatrices (dont on admet l’existence).
Puisque O appartient aux médiatrices de [AB], [BC] et [AC], on a OA=OB=OC.
Donc, par définition du cercle, A, B et C appartiennent au même cercle de centre O et de rayon OA.



3. Hauteurs
Définition  :
Une hauteur d’un triangle est perpendiculaire à un côté du triangle passant par le côté opposé.
On dit d’une hauteur qu’elle est relative à un côté et qu’elle est issue d’un sommet.



Remarque  : Quand on calcule l’aire d’un triangle, on utilise la longueur du segment porté par une hauteur dont les extrémités sont

  1. le sommet dont la hauteur est issue
  2. le point d’intersection de la hauteur et du côté à laquelle la hauteur est relative.
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