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Dérivation - Mathématiques

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Dérivation

jeudi 6 juillet 2017, par David Rodrigues

Dérivation

Nombre dérivé

I – Nombre dérivé

1. Taux d’accroissement d’une fonction numérique
Définition :
Soit une fonction f définie sur un intervalle I et a et b deux réels de I.
On appelle taux d’accroissement de f entre a et b le quotient : $T=\frac{f\left( b\right) -f\left( a\right) }{b-a}$


Exercice type :

On considère que le coût de fabrication en euros de n montres de luxe identiques est donné par la fonction : $\text{C}\left( n\right) =n^{3}+{10}n+{50}$ .
La production hebdomadaire normale est de 100 montres.
1. Calculer le coût de fabrication de deux montres supplémentaires (coût marginal),
2. Exprimer le coût marginal de la fabrication de h montres supplémentaires.



1. On calcule $\text{C}\left( {100}\right) ={100}^{3}+{10} \times {100}+{50}={1001050}$
On calcule $\text{C}\left( {102}\right) ={102}^{3}+{10} \times {102}+{50}={1062278} $

On calcule le taux d’accroissement entre 100 et 102 : $ \frac{\text{C}\left( {102}\right) -\text{C}\left( {100}\right) }{{102}-{100}}=\frac{61228}{2}={30614}$
Le coût marginal pour la fabrication de deux montres supplémentaires est 30614€ par montre.

2. On exprime le coût de fabrication de 100+h montres :
$\begin{eqnarray} \text{C}\left( {100}+h\right) & = &\left( {100}+h\right) ^{3}+{10}\left( {100}+h\right) +{50}\\ & = & {100}^{3}+{3} \times {100}^{2} \times h+{3} \times {100} \times h^{2}+h^{3}+{1000}+{10}h+{50}\\ & = & {1001050}+{30010}h+{300}h^{2}+h^{3} \end{eqnarray}$
On exprime le taux d’accroissement entre 100 et 100+h : $ \frac{\text{C}\left( {100}+h\right) -\text{C}\left( {100}\right) }{\left( {100}+h\right) -{100}} =\frac{{1001050}+{30010}h+{300}h^{2}+h^{3}-{1001050}}{h}={30010}+{300}h+h^{2}$.



2. Nombre dérivé d’une fonction en un nombre
Définitions  :
Soit une fonction f définie sur un intervalle I, un réel a de I et un réel h non nul.
Si le quotient $\frac{f\left( a+h\right) -f\left( a\right) }{h}$ tend vers un réel quand h tend vers 0, alors on dit que la fonction f est dérivable en a.
Le nombre réel vers lequel tend le taux d’accroissement est appelé nombre dérivé de f en a. On le note .$f'\left( a\right) $.
$f'\left( a\right) = \lim_{h \to 0}{\frac{f\left( a+h\right) -f\left( a\right) }{h}}$


Exercice type :

Soit la fonction $f\left( x\right) =\frac{{2}+x}{{1}+x}$. Calcule le nombre dérivé de f en 4.


On calcule $f\left( {4}\right) =\frac{6}{5}$.
Soit h un nombre non nul tel que ${4}+h>-{1}$. On exprime $f\left( {4}+h\right) =\frac{{2}+\left( {4}+h\right) }{{1}+\left( {4}+h\right) }=\frac{{6}+h}{{5}+h}$.
On exprime le taux d’accroissement entre 4 et 4+h :
${\frac{f\left( {4}+h\right) -f\left( {4}\right) }{h}}={\frac{1}{h}} \left(\frac{{6}+h}{{5}+h}-{\frac{6}{5}} \right) ={\frac{1}{h}} \left(\frac{\left( {30}+{5}h\right) -\left( {30}-{6}h\right) }{{5}\left( {5}+h\right) } \right) =\frac{11}{{5}\left( {5}+h\right) }$.
On estime alors la limite du taux d’accroissement si h tend vers 0 : $f'\left( {4}\right) =\lim_{h \to {0}}{\frac{11}{{5}\left( {5}+h\right) }}=\frac{11}{25}$.



3. Tangente à une courbe en un point
Définition  :
Soit une fonction f définie sur un intervalle I, $Cf$ sa courbe représentative dans un repère, un réel a de I et un réel h non nul.
On considère les points $\text{A}\left( a \mathrm{;} f\left( a\right) \right) $ et $\text{B}\left( a+h \mathrm{;} f\left( a+h\right) \right) $ appartenant à $Cf$.
Si elle existe, on appelle tangente à $Cf$ en A la droite $(d)=(AB)$ quand h tend vers 0.



Propriété (admise) :
Si (d) est la tangente à $Cf$ en A d’abscisse a, alors le coefficient directeur de (d) est $f'\left( a\right) $.


Propriété  :
Soit (d) la tangente à $Cf$ en A d’abscisse a.
Une équation de (d) est : $y=f'\left( a\right) \times \left( x-a\right) +f\left( a\right) $



Démonstration  :

On sait que (d) est non parallèle à l’axe des ordonnées, donc une équation est de la forme y=mx+p avec m et p deux réels.

On sait que la droite passe par le point $\text{A}\left( a \mathrm{;} f\left( a\right) \right) $. Donc $f\left( a\right) =ma+p$. On en déduit : $p=f\left( a\right) -ma$.

Alors une équation de (d) est : $y=mx+f\left( a\right) -ma=m\left( x-a\right) +f\left( a\right) $.

A l’aide du théorème, précédent, on établit $m=f'\left( a\right) $.

D’où la formule.


Exercice type :

Soit la fonction $f\left( x\right) ={2}x^{2}+{6}x+{3}$. Déterminer l’équation de sa tangente en A d’abscisse 2.

On calcule $f\left( {2}\right) ={23}$

On exprime le taux d’accroissement de f entre 2 et 2+h : $\frac{f\left( {2}+h\right) -f\left( {2}\right) }{h}=\frac{\left( {2}\left( {2}+h\right) ^{2}+{6}\left( {2}+h\right) +{3}\right) -{23}}{h}=\frac{{8}h+{2}h^{2}+{6}h}{h}={2}h+{14}$. Alors $f'\left( {2}\right) =\lim_{h \to {0}}{{2}h+{14}}={14}$.

Une équation de T est : $y={14}\left( x-{2}\right) +{23}$, soit $y={14}x-{5}$.


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