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Fonctions affines - Mathématiques

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Fonctions affines

lundi 10 juillet 2017, par David Rodrigues

Fonctions affines

Fonctions affines

I – Fonctions affines

1. Généralités
Définitions :
Soient deux réels m et p.
Une fonction définie sur un intervalle I, qui, à tout nombre x de I, associe le nombre $mx+p$ est appelée fonction affine.



Théorème :
Soit f une fonction affine définie sur Df et deux réels distincts u et v appartenant à Df.
Le coefficient directeur de f est le nombre $m=\frac{f\left( v\right) -f\left( u\right) }{v-u}$.


Démonstration :

Comme f est une fonction affine, il existe deux réels m et p tels que $f\left( x\right) =mx+p$.
Alors $f\left( u\right) =mu+p$ et $f\left( v\right) =mv+p$. Alors $f\left( v\right) -f\left( u\right) =mv-mu=m\left( v-u\right) $.
Puisque v et u sont distincts, $v-u<>{0}$. Donc $m=\frac{f\left( v\right) -f\left( u\right) }{v-u}$.


Exercice type

Soit g une fonction affine vérifiant g(4)=2 et g(6)=-3.
Déterminer un expression algébrique de g.



g est une fonction affine, donc il existe deux réels m et p tels que $g\left( x\right) =mx+p$.
On calcule le coefficient directeur : $m=\frac{g\left( {6}\right) -g\left( {4}\right) }{{6}-{4}}=\frac{-{3}-{2}}{2}=-{\frac{5}{2}}$.
On résout l’équation d’inconnue p : $g\left( {4}\right) ={2} ⇔-{\frac{5}{2}} \times {4}+p={2} ⇔-{10}+p={2} ⇔p={12}$.
La fonction g est définie par $g\left( x\right) =-{\frac{5}{2}}x+{12}$.



2. Sens de variation d’une fonction affine
Théorème :
Soient deux réels m et p et une fonction f définie sur R par $f\left( x\right) =mx+p$.
Si m>0, alors f est strictement croissante sur R.
Si m>0, alors f est strictement décroissante sur R.
Si m=0, alors f est constante sur R.


Démonstration :

Si m=0, alors pour tous u et v de R, $f\left( u\right) =f\left( v\right) =p$.
Si m>0, alors pour tous u et v de R, $ u < v \Rightarrow mu < mv \Rightarrow mu+p < mv+p \Rightarrow f\left( u\right) < f\left( v\right) $. Donc f est strictement croissante.
Si m<0, alors pour tous u et v de R, $ u < v \Rightarrow mu > mv \Rightarrow mu+p > mv+p \Rightarrow f\left( u\right) > f\left( v\right) $. Donc f est strictement décroissante.


3. Signe d’une fonction affine

Soient deux nombres m et p et la fonction f définie sur R par $f\left( x\right) =mx+p$.
On veut déterminer le signe de f suivant la valeur de la variable x.

Cas : m>0
La fonction f est strictement croissante sur R.

On résout $f\left( x\right) ={0}$.

$f\left( x\right) ={0}⇔mx+p={0}⇔x=-{\frac{p}{m}}$

$ \text{S}= \left \{ -{\frac{p}{m}} \right \} $.

On peut établir le tableau de signe suivant :

$x$ –∞ $-{\frac{p}{m}}$ +∞
$\text{Signe de} f\left( x\right) $ 0 +

Cas : m<0
La fonction f est strictement décroissante sur R.

On résout $f\left( x\right) ={0}$.

$f\left( x\right) ={0}⇔mx+p={0}⇔x=-{\frac{p}{m}}$

$ \text{S}= \left \{ -{\frac{p}{m}} \right \} $.

On peut établir le tableau de signe suivant :

$x$ –∞ $-{\frac{p}{m}}$ +∞
$\text{Signe de} f\left( x\right) $ + 0 -

Résoudre une inéquation produit

II – Résoudre une inéquation produit

Exercice type

On considère la fonction définie sur R par $f\left( x\right) =-{2}x^{2}+{11}x-{12}$.

1. Démontrer que, pour tout x réel, $f\left( x\right) =\left( {2}x-{3}\right) \left( {4}-x\right) $.

2. Résoudre l’inéquation : $x\left( {11}-{2}x\right) <{12}$


1. On développe : $\left( {2}x-{3}\right) \left( {4}-x\right) ={8}x-{2}x^{2}-{12}+{3}x=-{2}x^{2}+{11}x-{12}=f\left( x\right) $ .

2. On se ramène à une étude de signe : $x\left( {11}-{2}x\right) <{12}⇔{11}x-{2}x^{2}-{12}<{0}⇔f\left( x\right) <{0}$ .

On résout ${2}x-{3}={0}⇔x=\frac{3}{2}$

On résout ${4}-x={0}⇔x={4}$

On établit de le tableau de signes :

$x$ –∞ $\frac{3}{2}$ 4 +∞
$\text{Signe de} {2}x-{3}$ 0 + $\vdots$ +
$\text{Signe de} {4}-x$ + $\vdots$ + 0
$\text{Signe du produit}$ 0 + 0

Alors $ \text{S}= \left]-\infty \mathrm{;} \frac{3}{2} \right[\cup]{4} \mathrm{;} +\infty [$ .

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