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Calcul littéral - Mathématiques

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Calcul littéral

mardi 8 août 2017, par David Rodrigues

Calcul littéral

Transformer une expression

I – Transformer une expression algébrique

1. Développer
Définition  :

Développer une expression algébrique, c’est la transformer en somme.


Exercice type :

1. Développer $\text{A}={2}x\left( x+{3}-{5}y\right) $

2. Développer $\text{B}=\left( {3}x-{2}\right) \left( {4}-{7}x\right) $


1. $\text{A}={2}x\left( x+{3}-{5}y\right) ={2}x^{2}+{6}x-{10}xy$

2. $\text{B}=\left( {3}x-{2}\right) \left( {4}-{7}x\right) ={12}x-{21}x^{2}-{8}+{14}x =-{21}x^{2}+{26}x-{8}$


2. Factoriser
Définition  :

Factoriser une expression algébrique, c’est la transformer en produit.


Exercice type :

1. Factoriser $\text{A}={6}x-{3}$

2. Factoriser $\text{B}={7}-{42}x$


1. $\text{A}={6}x-{3} ={3} \times {2}x+{3} \times {1}={3}\left( {2}x-{1}\right) $

2. $\text{B}={7}-{42}x ={7} \times {1}-{7} \times {6}x={7}\left( {1}-{6}x\right) $



3. Identités remarquables
Propriété  :

Quels que soient les nombres réels a et b , on a :

$\left( a+b\right) ^{2}=a^{2}+{2}ab+b^{2}$

$\left( a-b\right) ^{2}=a^{2}-{2}ab+b^{2}$

$\left( a+b\right) \left( a-b\right) =a^{2}-b^{2}$

Démonstration :

Se ramener à la double distributivité et réduire l’expression.


Exercice type :

Développer

$\text{A}=\left( {6}-{2}x\right) ^{2}$

$\text{B}=\left( {3}+{4}x\right) ^{2}$

$\text{C}=\left( {2}-x\right) \left( {2}+x\right) $

Factoriser

$\text{D}={4}x^{2}+{12}x+{9}$

$\text{E}={144}-{24}x+x^{2}$

$\text{F}={100}-{4}x^{2}$


$\text{A}=\left( {6}-{2}x\right) ^{2} ={36}-{24}x+{4}x^{2}$

$\text{B}=\left( {3}+{4}x\right) ^{2} ={9}+{24}x+{16}x^{2}$

$\text{C}=\left( {2}-x\right) \left( {2}+x\right) ={4}-x^{2}$

$\text{D}={4}x^{2}+{12}x+{9} =\left( {2}x+{3}\right) ^{2}$

$\text{E}={144}-{24}x+x^{2} =\left( {12}-x\right) ^{2}$

$\text{F}={100}-{4}x^{2} =\left( {10}+{2}x\right) \left( {10}-{2}x\right) $


Équations

II – Résolution d’équations

Définition  :
Une équation est un problème portant sur une égalité. Il consiste à déterminer toutes les valeurs d’une inconnue pour lesquelles l’égalité est vraie.


1. Équation du premier degré à une inconnue
Théorèmes  :
Quels que soient les nombres réels a, b et c, on a :
$a=b$ si et seulement si $a+c=b+c$.

Quels que soient les nombres réels a, b et c ($c \neq 0$), on a :

$a=b$ si et seulement si $a \times c=b \times c$.


Démonstration  :

$a=b$ équivaut à $a-b={0}$. Or $\left( a+c\right) -\left( b+c\right) =a-b={0}$ et $\left( a \times c\right) -\left( b \times c\right) =c\left( a-b\right) ={0} \times c={0}$.


Exercice type :

Résoudre l’équation : ${4}x-{3}={2}\left( x+{7}\right) $


${4}x-{3}={2}\left( x+{7}\right) $

${4}x-{3}={2}x+{14}$ Distributivité

${2}x={17}$ Addition d’un réel

$x=\frac{17}{2}$ Multiplication par un réel non nul.

Alors $ \text{S}= \left \{ \frac{17}{2} \right \} $




2. Équation du second degré à une inconnue se ramenant à un produit nul
Théorème (admis) :
Un produit de facteurs est nul si et seulement si un des facteurs au moins est nul.



Exercice type :

Résoudre l’équation : $x^{2}-{2}x={6}x-{12}$


$x^{2}-{2}x={6}x-{12}$

$x\left( x-{2}\right) ={6}\left( x-{2}\right) $ Factorisation

$x\left( x-{2}\right) -{6}\left( x-{2}\right) ={0}$ Addition d’un réel

$\left( x-{6}\right) \left( x-{2}\right) ={0}$ Factorisation

$x-{6}={0}$ ou $x-{2}={0}$ Produit nul

$x={6}$ ou $x={2}$ Addition d’un réel

Alors $\text{S}= \left \{ {2} \mathrm{;} {6} \right \} $



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