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Vecteurs 2 - Mathématiques

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Vecteurs 2

mercredi 16 août 2017, par David Rodrigues

Vecteurs et Géométrie repérée

Coordonnées

I – Coordonnées d’un vecteur

1. Définition
Définition  :
Soient un vecteur $ \vec {u}$ et un repère $\left( O, I, J\right) $.
On appelle coordonnées de $ \vec {u}$ dans $\left( O, I, J\right) $ les coordonnées du point M tel que $ \overrightarrow{\text{OM}}= \vec {u}$.



Exercice type

Lire les coordonnées de $ \vec {u}$ et de $ \overrightarrow{\text{AB}}$ dans le repère ci-contre.

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Coordonnées d’un vecteur



Graphiquement  :
On trace le représentant de $ \vec {u}$ d’origine O.

On lit les coordonnées de son extrémité $\text{M}\left( {5} \mathrm{;} {4}\right) $.

Donc $ \vec {u} \left(\matrix{{5} \cr {4}}\right)$.


Algébriquement  :

On calcule les coordonnées de P milieu de [OB].

$ \text{P} \left(\frac{x_\text{B}}{2} \mathrm{;} \frac{y_\text{B}}{2} \right)$

$\text{P}\left( -{1} \mathrm{;} {0}\right) $.

On calcule les coordonnées de M tel que P soit le milieu de [AM].

$ x_\text{P}=\frac{x_\text{A}+x_\text{M}}{2} \Leftrightarrow -{1}=\frac{{1}+x_\text{M}}{2} \Leftrightarrow -{2}={{1}+x_\text{M}} \Leftrightarrow x_\text{M}=-{3}$

$ y_\text{P}=\frac{x_\text{A}+x_\text{M}}{2} \Leftrightarrow {0}=\frac{-{4}+y_\text{M}}{2} \Leftrightarrow {0}=-{4}+y_\text{M} \Leftrightarrow y_\text{M}={4}$

Le point $\text{P}\left( -{3} \mathrm{;} {4}\right) $ est tel que $ \overrightarrow{\text{OP}}= \overrightarrow{\text{AB}}$.

Donc $ \overrightarrow{\text{AB}} \left(\matrix{-{3} \cr {4}}\right)$.


2. Vecteurs égaux et coordonnées
Théorème  :

Deux vecteurs sont égaux si et seulement si leurs coordonnées dans un repère sont les mêmes.


Démonstration  :

Soient deux vecteur $ \vec {u}$ et $ \vec {v}$ dans un repère $\left( \mathrm{\text}{O} \mathrm{;} \vec {i} \mathrm{,} \vec {j}\right) $ ainsi que les points M et M’ tels que $ \vec {u}= \overrightarrow{\text{OM}}$ et $ \vec {v}= \overrightarrow{\text{OM}'}$.

Si $ \vec {u}= \overrightarrow{v}$, alors $ \overrightarrow{\text{OM}}= \overrightarrow{\text{OM}'}$. Donc $ \vec {u}$ et $ \vec {v}$ ont les mêmes coordonnées.

Si $ \vec {u}$ et $ \vec {v}$ ont les mêmes coordonnées, alors M et M’ sont confondus et donc $ \overrightarrow{\text{OM}}= \overrightarrow{\text{OM}'}$. Donc $ \vec {u} = \vec {v}$.


3. Calcul des coordonnées d’un vecteur

Démonstration  :

Dans un repère $\left( \text{O},\text{I},\text{J}\right) $, soient deux points $\text{A}\left( x_\text{A} \mathrm{;} y_\text{A}\right) $ et $\text{B}\left( x_\text{B} \mathrm{;} y_\text{B}\right) $.

On considère le point M tel que $ \overrightarrow{\text{OM}}= \overrightarrow{\text{AB}}$. Alors, par définition, [OM]et [AB] ont même milieu : $\text{K}\left( x_\text{K} \mathrm{;} y_\text{K}\right) $.4

Or d’une part : $ x_\text{K}=\frac{x_\text{B}}{2}$ et $ y_\text{K}=\frac{y_\text{B}}{2}$. Et d’autre part : $ x_\text{K}=\frac{x_\text{A}+x_\text{M}}{2}$ et $ y_\text{K}=\frac{y_\text{A}+y_\text{M}}{2}$.

Par conséquent, $x_\text{B}=x_\text{A}+x_\text{M}$ et $y_\text{B}=y_\text{A}+y_\text{M}$. Puis $x_\text{M}=x_\text{B}-x_\text{A}$ et $y_\text{M}=y_\text{B}-y_\text{A}$.

Alors les coordonnées de $ \overrightarrow{\text{AB}}$ sont celles de M, soit $ \overrightarrow{\text{AB}} \left(\matrix{x_\text{B}-x_\text{A} \cr y_\text{B}-y_\text{A}}\right)$


Théorème  :

Dans un repère $\left( O, I, J\right) $, soient deux points $\text{A}\left( x_\text{A} \mathrm{;} y_\text{A}\right) $ et $\text{B}\left( x_\text{B} \mathrm{;} y_\text{B}\right) $.

Les coordonnées du vecteur $ \overrightarrow{\text{AB}}$ sont $ \overrightarrow{\text{AB}} \left(\matrix{x_\text{B}-x_\text{A} \cr y_\text{B}-y_\text{A}}\right)$.



Exercice type

Dans le plan muni d’un repère, on considère les points $\text{M}\left( {7} \mathrm{;} {5}\right) $, $\text{N}\left( -{2} \mathrm{;} {3}\right) $ et $\text{P}\left( {1} \mathrm{;} -{3}\right) $.

Déterminer les coordonnées des vecteurs $ \overrightarrow{\text{MN}}$ et $ \overrightarrow{\text{NP}}$.


On calcule les coordonnées de $ \overrightarrow{\text{MN}}$

$ \overrightarrow{\text{MN}} \left(\matrix{x_\text{N}-x_\text{M} \cr y_\text{N}-y_\text{M}}\right)$ $ \overrightarrow{\text{MN}} \left(\matrix{-{2}-{7} \cr {3}-{5}}\right)$ $ \overrightarrow{\text{MN}} \left(\matrix{-{9} \cr -{2}}\right)$ .

On calcule les coordonnées de $ \overrightarrow{\text{NP}}$ .

$ \overrightarrow{\text{NP}} \left(\matrix{x_\text{P}-x_\text{N} \cr y_\text{P}-y_\text{N}}\right)$ $ \overrightarrow{\text{NP}} \left(\matrix{{1}- \left(\matrix{-{2}}\right) \cr -{3}-{3}}\right)$ $ \overrightarrow{\text{NP}} \left(\matrix{{3} \cr -{6}}\right)$ .



Exercice type

Dans le plan muni d’un repère, on considère les points $\text{M}\left( {7} \mathrm{;} {5}\right) $, $\text{N}\left( -{2} \mathrm{;} {3}\right) $ et $\text{P}\left( {1} \mathrm{;} -{3}\right) $.

Déterminer les coordonnées du point Q tel que $ \overrightarrow{\text{PQ}}= \overrightarrow{\text{MN}}$.


On exprime les coordonnées de $ \overrightarrow{\text{PQ}}$

$ \overrightarrow{\text{PQ}} \left(\matrix{x_\text{Q}-x_\text{P} \cr y_\text{Q}-y_\text{P}}\right)$ $ \overrightarrow{\text{PQ}} \left(\matrix{x_\text{Q}-1 \cr y_\text{Q}-\left( -3\right) }\right)$ .

Or $ \overrightarrow{\text{MN}} \left(\matrix{-{9} \cr -{2}}\right)$ .

On résout : $\left \{ \matrix{ x_\text{Q}-{1}=-{9} \cr y_\text{Q}+{3}=-{2} } \right . \Leftrightarrow \left \{ \matrix{{ x_\text{Q}=-{8}} \cr {y_\text{Q}=-{5} }} \right .$ .

Alors on a $\text{Q}\left( -{8} \mathrm{;} -{5}\right) $ .


4. Coordonnées d’une somme de vecteurs
Théorème  :

Dans un repère $\left( \text{O},\text{I},\text{J}\right) $, soient deux vecteurs $ \vec {u} \left(\matrix{x \cr y}\right)$ et $ \vec {v} \left(\matrix{x' \cr y'}\right)$.

Les coordonnées du vecteur somme $ \vec {u}+ \overrightarrow{v}$ sont : $ \left(\matrix{x+x' \cr y+y'} \right)$.


Démonstration  :

Soient deux vecteur $ \vec {u}$ et $ \vec {v}$ dans un repère $\left( \text{O},\text{I},\text{J}\right) $ et leurs représentants respectifs $ \overrightarrow{\text{AB}} = \vec {u}$ et $ \overrightarrow{\text{BC}} = \vec {v}$.

D’après Chasles $ \vec {u}+ \overrightarrow{v}= \overrightarrow{\text{AB}}+ \overrightarrow{\text{BC}}= \overrightarrow{\text{AC}}$.

Or les coordonnées de $ \overrightarrow{\text{AB}}+ \overrightarrow{\text{BC}}$ sont $ \left(\matrix{x _\text{B}-x _\text{A} \cr y _\text{B}-y _\text{A}}\right)+ \left(\matrix{x _\text{C}-x _\text{B} \cr y _\text{C}-y _\text{B}}\right)= \left(\matrix{x _\text{C}-x _\text{A} \cr y _\text{C}-y _\text{A}}\right)$. D’où la propriété.


Produit par un réel

II – Produit d’un vecteur par d’un réel et colinéarité

1. Produit d’un vecteur par un réel
Définition  :
Soient un vecteur $ \vec {u}$ dont les coordonnées dans un repère sont $ \left(\matrix{x \cr y}\right)$ et un nombre réel k .

Le produit de $ \vec {u}$ par k est le vecteur $k \overrightarrow{u}$ dont les coordonnées dans le même repère sont $ \left(\matrix{ {kx} \cr {ky}}\right)$.


Théorème (admis) :
Le produit d’un vecteur par un réel est indépendant du repère choisi.




2. Propriétés de la multiplication par un réel
Théorèmes  :

Soient deux réels k et l et deux vecteur $ \vec {u}$ et $ \vec {v}$.

On a : $\left( k+l\right) \vec {u} =k \vec {u} +l \vec {u}$ (distributivité à droite)

$k\left( \vec {u}+ \overrightarrow{v}\right) =k \vec {u} +k \vec {v}$ (distributivité à gauche)

$k\left( l \vec {u}\right) =\left( kl\right) \vec {u}$ (associativité)

De plus, $k \vec {u} = \vec {0}$ si et seulement si $k={0}$ ou $ \vec {u}= \overrightarrow{0}$.


Démonstration :

Exercice 86 page 312



3. Vecteur colinéaires
Définition :

Soient deux vecteur $ \vec {u}$ et $ \vec {v}$.

On dit que $ \vec {u}$ et $ \vec {v}$ sont colinéaires si et seulement s’il existe un nombre réel k tel que $ \vec {u} =k \vec {v}$.


Exercice type

Dans le plan muni d’un repère, on considère les vecteurs $ \vec {u} \left(\matrix{{2} \cr {5}}\right)$, $ \vec {v} \left(\matrix{-{4} \cr -{10}}\right)$ et $ \vec {w} \left(\matrix{{14} \cr {34}}\right)$.

Déterminer la colinéarité de $ \vec {u}$ et $ \vec {v}$.

Démontrer que $ \vec {u}$ et $ \vec {w}$ ne sont pas colinéaires.


Supposons que $ \vec {u}$ et $ \vec {v}$ sont colinéaires.

Il existe alors un nombre k tel que $ \vec {v} =k \vec {u}$.

On résout : $ \left\{matrix{ {-4 = 2k} \cr {10=5k}} \Leftrightarrow \left\{matrix{ {k = -2} \cr {k = -2}}$.

On a $ \vec {v} =-2 \vec {u}$.

Donc $ \vec {u}$et $ \vec {v}$ sont colinéaires.

Supposons que $ \vec {u}$ et $ \vec {w}$ sont colinéaires.

Il existe alors un nombre k tel que $ \vec {w} =k \vec {u}$.

On résout : $ \left \{ \matrix{ {14} = {2}k \cr {34}= {5}k } \right \Leftrightarrow left \{ \matrix{ k = {7} \cr k = {6,8} } \right $.

Le système n’a pas de solution.

Donc $ \vec {u}$ et $ \vec {w}$ ne sont pas colinéaires.



4. Parallélisme et alignement
Théorème (admis) : Parallélisme

Soient 4 points distincts A, B, C et D du plan.

Les droites (AB) et (CD) sont parallèles si et seulement si $ \overrightarrow{\text{AB}}$ et $ \overrightarrow{\text{CD}}$ sont colinéaires.


Théorème : Alignement

Soient 3 points distincts A, B et C du plan.

Les points A, B et C sont alignés si et seulement si $ \overrightarrow{\text{AB}}$ et $ \overrightarrow{\text{AC}}$ sont colinéaires.


Démonstration :

Si A, B et C sont alignés, alors (AB)=(CD). Donc $ \overrightarrow{\text{AB}}$ et $ \overrightarrow{\text{CD}}$ sont colinéaires.

Si $ \overrightarrow{\text{AB}}$ et $ \overrightarrow{\text{AC}}$ sont colinéaires, alors (AB) et (AC) sont parallèles. Or, par A ne peut passer qu’une seule droite parallèle à (AB). Donc (AB)=(AC). D’où l’alignement.


Exercice type

Soit ABC est un triangle quelconque.

On construit les points D et E vérifiant : $ \overrightarrow{\text{AD}}= \overrightarrow{\text{AC}}+2 \overrightarrow{\text{AB}}$ et $ \overrightarrow{\text{AE}}= \overrightarrow{\text{AB}}+{\frac{1}{3}} \overrightarrow{\text{BC}}$

Démontrer que A, D et E sont alignés.

On exprime $ \overrightarrow{\text{AD}}$ en fonction de $ \overrightarrow{\text{AE}}$.

$\begin{align} \overrightarrow{\text{AD}} & = & \overrightarrow{\text{AC}}+2 \overrightarrow{\text{AB}} \\ & = & \overrightarrow{\text{AB}}+ \overrightarrow{\text{BC}}+2 \overrightarrow{\text{AB}} \\ & = & 3 \overrightarrow{\text{AB}}+ \overrightarrow{\text{BC}} \\ & = & 3 \overrightarrow{\text{AE}} \end{align}$

Puisque $ \overrightarrow{\text{AD}}=3 \overrightarrow{\text{AE}}$, les vecteurs $ \overrightarrow{\text{AD}}$ et $ \overrightarrow{\text{AE}}$ sont colinéaires.

Donc (AD) // (AE).

Alors les points A, D et E sont alignés.


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