Strict Standards: Only variables should be passed by reference in /data/web/4/1/maths.toile-libre.org/htdocs/config/ecran_securite.php on line 283
Probabilités - Mathématiques

Accueil > Première ES > Cours et Exercices > Probabilités

Probabilités

jeudi 31 août 2017, par David Rodrigues

Probabilités

Probabilité

I – Probabilité d’un événement

1. Expérience aléatoire
Définition  :
On appelle expérience aléatoire une expérience qui réunit les caractéristiques suivantes :
- on connaît par avance l’ensemble des issues possibles
- on ne peut ni prévoir ni calculer son résultat


2. Univers d’une expérience aléatoire
Définition  :
On appelle univers d’une expérience aléatoire l’ensemble des issues possibles. On le note Ω.


3. Événement et probabilité
Définitions  :
Un événement est un sous-ensemble de l’univers Ω.
Un événement élémentaire est un événement réalisé par une seule issue de Ω.
L’événement impossible est un événement réalisé par aucune issue de Ω. On le note ∅.
L’événement certain est un événement réalisé par toutes les issues de Ω.


Définition  :
La probabilité d’un événement est la somme des probabilités des événements élémentaires qui la composent.


4. Loi de probabilité
Définition  :
Définir une loi de probabilité sur un univers, c’est attribuer à chaque événement élémentaire un nombre p positif ou nul, appelé probabilité de l’événement élémentaire, de sorte que la somme des probabilités des événements élémentaires de l’univers est 1.
Théorème  :
La probabilité de l’événement certain est 1 : $p\left( \text{Ω}\right) ={1}$.
La probabilité de l’événement impossible est 0 : $ p\left( \emptyset\right) ={0}$.

Exercice type :

Indiquer un univers modélisant le lancer de deux dés cubiques et la loi de probabilités qui y est associée.


Les issues du lancer de chaque dé est : $\text{Ω}_{1}= \left \{ {1} \mathrm{;} {2} \mathrm{;} {3} \mathrm{;} {4} \mathrm{;} {5} \mathrm{;} {6} \right \} $ et $\text{Ω}_{2}= \left \{ {1} \mathrm{;} {2} \mathrm{;} {3} \mathrm{;} {4} \mathrm{;} {5} \mathrm{;} {6} \right \} $.

L’univers de l’expérience est composé de 36 issues : $\text{Ω}= \left \{ \left( {1} \mathrm{;} {1}\right) \mathrm{;} \left( {1} \mathrm{;} {2}\right) \mathrm{;} \left( {1} \mathrm{;} {3}\right) \mathrm{;} … \mathrm{;} \left( {6} \mathrm{;} {4}\right) \mathrm{;} \left( {6} \mathrm{;} {5}\right) \mathrm{;} \left( {6} \mathrm{;} {6}\right) \right \} $.

Chaque événement élémentaire est équiprobable : $ p\left( \text{e}\right) =\frac{1}{36}$.


Variable aléatoire

II – Variable aléatoire

1. Expérience aléatoire
Définition  :
On considère un univers Ω et sa loi de probabilités.
Un variable aléatoire réelle est une fonction définie sur Ω à valeurs dans R.



Exercice type :

Dans le cas du lancer de deux dés cubiques, on note :
- S la variable aléatoire associée à la somme des résultats des dés
- D la variable aléatoire associée à la différence des résultats des dés.
Déterminer les lois de probabilités de S et de D.


Valeur prise par S 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Probabilité de l’événement $\frac{1}{36}$ $\frac{1}{18}$ $\frac{1}{12}$ $\frac{1}{9}$ $\frac{5}{36}$ $\frac{1}{6}$ $\frac{5}{36}$ $\frac{1}{9}$ $\frac{1}{12}$ $\frac{1}{18}$ $\frac{1}{36}$
Valeur prise par D -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
Probabilité de l’événement $\frac{1}{36}$ $\frac{1}{18}$ $\frac{1}{12}$ $\frac{1}{9}$ $\frac{5}{36}$ $\frac{1}{6}$ $\frac{5}{36}$ $\frac{1}{9}$ $\frac{1}{12}$ $\frac{1}{18}$ $\frac{1}{36}$



2. Espérance d’une variable aléatoire
Définition  :
On considère un univers Ω et une variable aléatoire X qui peut prendre n valeurs
distinctes $x₁ \mathrm{;} x₂ \mathrm{;} x₃ \mathrm{;} … \mathrm{;} x_n$

On appelle espérance de X le nombre : $\text{E}\left( \text{X}\right) =x_{1}p\left( \text{X}=x_{1}\right) +x_{2}p\left( \text{X}=x_{2}\right) +x_{3}p\left( \text{X}=x_{3}\right) +\ldots+x_{n}p\left( \text{X}=x_n\right) $



Théorème (admis) :
On considère une expérience aléatoire que l’on peut répéter indéfiniment sans changer la loi de probabilité (répétitions identiques et indépendantes), et une variable aléatoire X définie sur l’univers associé.
La moyenne des résultats obtenus sur une série de N répétitions tend vers E(X) quand N devient grand.


Exercice type :

Dans l’exemple précédent, déterminer l’espérance de S, de D.



On calcule $ \text{E}\left( \text{S}\right) =\frac{2}{36}+\frac{3}{18}+\frac{4}{12}+\frac{5}{9}+\frac{30}{36}+\frac{7}{6}+\frac{40}{36}+\frac{9}{9}+\frac{10}{12}+\frac{11}{18}+\frac{12}{36} ={7}$.

On calcule $ \text{E}\left( \text{D}\right) ={\frac{-5}{36}}+\frac{-4}{18}+\frac{-3}{12}+\frac{-2}{9}+\frac{-5}{36}+{0}+\frac{5}{36}+\frac{2}{9}+\frac{3}{12}+\frac{4}{18}+\frac{5}{36} ={0}$.


SPIP | | Plan du site | Suivre la vie du site RSS 2.0
Habillage visuel © digitalnature sous Licence GPL