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Fonction carré - Mathématiques

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Fonction carré

mardi 19 septembre 2017, par David Rodrigues

Fonction carré

Définition et parité

I – Définition et parité

Définition  :

On appelle fonction carré la fonction qui, à tout nombre x réel, associe son carré.
Fonction carré : $x \mapsto x^2$


Théorème (Parité) :
Quelque soit le réel $a$, $(-a)^2=a^2$.


Démonstration :

$(-a)=(-1)a$. Donc $(-a)^2=(-1)^2 a^2=a^2$.


Sens de variations

II – Sens de variations

Théorème :
La fonction carré est strictement décroissante sur $]–\infty;0]$.
La fonction carré est strictement croissante sur $[0;+\infty[$.



Démonstration :

On cherche un intervalle I sur lequel la fonction carré est strictement croissante, c’est à dire pour laquelle on a :
Si $a < b$, alors $a^2 < b^2$.
Or $a^2 < b^2 ⇔ a^2-b^2 < 0 ⇔ (a+b)(a-b)<0$.

Sur l’intervalle $]–\infty;0]$.
$a < b ⇔ a-b < 0$
$a+b < 0$
Donc $(a+b)(a-b) > 0$.
La fonction carré est strictement décroissante sur $]–\infty;0]$.
Sur l’intervalle $[0;+\infty[$.
$a < b ⇔ a-b < 0$
$a+b > 0$
Donc $(a+b)(a-b) < 0$.
La fonction carré est strictement croissante sur $[0;+\infty[$.


Exercice type

Comparer à l’aide du sens de variation de la fonction carré.
a) $2,7^2$ et $2,9^2$.
b) $(-5,7)^2$ et $(-3,2)^2$.
c) $(-2)^2$ et $2,5^2$.



a) La fonction carré est strictement croissante sur $[0;+\infty[$.
Puisque $0<2,7<2,9$, on a $2,7^2<2,9^2$.
b) La fonction carré est strictement décroissante sur $]–\infty;0]$.
Puisque $-5,7<-3,2<0$, on a $(-5,7)^2>(-3,2)^2$.
c) $-2<0<2,5$.
On ne peut pas conclure à l’aide du sens de variations.


Exercice type

Donner un encadrement de $x^2$ pour :
a) $x ∈ [2;5]$.
b) $-7 < x < -2$.
c) $-3≤x≤1$.



a) La fonction carré est strictement croissante sur $[0;+\infty[$.
Puisque $2≤x≤5$, on a $2^2≤x^2≤5^2$, donc $4≤x^2≤25$.
b) La fonction carré est strictement décroissante sur $]–\infty;0]$.
Puisque $-7 < x < -2$, on a $(-7)² > x^2 > (-2)²$, donc $4 < x^2 < 49$.
c) Avec la restriction du tableau de variations, on a : $0≤x^2≤9$.


Parabole

III – Parabole d’équation $y=x^2$

Définition :
On appelle parabole d’équation $y=x^2$ la courbe représentative de la fonction carré dans un repère orthogonal.
Le point d’origine du repère est le sommet de cette parabole.


Théorème :
La parabole d’équation $y=x^2$ admet l’axe des ordonnées comme axe de symétrie.


Démonstration :

Pour tout réel $a$, on a $(-a)^2=a^2$ (parité).
Donc les points $M(a;a^2)$ et $M’(-a;a^2)$ appartiennent à la parabole d’équation $y=x²$.
Pour tout nombre a non nul, la droite (MM’) a pour équation $y=a^2$ : elle est parallèle à l’axe des abscisses et donc perpendiculaire à l’axe des ordonnées.
De plus, le point de coordonnées $(0;a^2)$ est le milieu de [MM’].
Donc les points M et M’ sont symétriques par rapport à l’axe des ordonnées.


Exercice type

Résoudre les inéquations suivantes :

a) $x^2<9$
b) $x^2≥7$
c) $x^2>-1$



a) Résolution graphique : $S=]-3;3[$.
Résolution algébrique : $x²-9<0$ ⇔ $(x+3)(x-3)<0$ et tableau de signes.
b) Résolution graphique : $S=]–∞;-2,65]∪[2,65;+∞[$.
Résolution algébrique : $x^2-7≥0$ ⇔ et tableau de signes.
c) Pour tout réel x, $x^2≥0>-1$. Donc $S=R$.


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