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Nombres relatifs - Mathématiques

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Nombres relatifs

vendredi 10 février 2017, par David Rodrigues

Nombres relatifs


Addition et soustraction

I – Addition et soustraction de relatifs

1. Propriétés de l’addition
Propriété de commutativité de l’addition :

Pour tous nombres a et b, on a : a+b=b+a.


Exemples :
-   \left( -{5}\right) +{3}={3}+\left( -{5}\right) (Commutativité)
\  \  \  \  \  \  \  \  = 2
-   {2}+{5}+\left( -{7}\right) +{1}+\left( -{2}\right) ={2}+{5}+{1}+\left( -{7}\right) +\left( -{2}\right) (Commutativité)
\  \  \  \  \  \  \  \  \  \  \  \  \  \  \  \  \  \  \  \  \   ={8}+\left( -{9}\right)
\  \  \  \  \  \  \  \  \  \  \  \  \  \  \  \  \  \  \  \  \   =-{1}


Remarque :
La soustraction n’est pas commutative : {22}-{3}={19} alors que {3}-{22}=-{19}.


Propriété d’associativité de l’addition :

Quels que soient les nombres a, b et c, on a : a+\left( b+c\right) =\left( a+b\right) +c=a+b+c.


Exemples :
- {2}+\left( {7}+{1}\right) ={2}+{8}
\  \  \  \  \  \  \  \  ={10}
et \left( {2}+{7}\right) +{1}={9}+{1}
\  \  \  \  \  \  \  \  ={10}.
On peut donc noter {2}+{7}+{1}={10}.
- {6}+\left( {3}+\left( -{5}\right) \right) ={6}+\left( -{2}\right)
\  \  \  \  \  \  ={4}
et \left( {6}+{3}\right) +\left( -{5}\right) ={9}+\left( -{5}\right)
\  \  \  \  \  \  \  ={4}.
On peut donc noter : {6}+{3}+\left( -{5}\right) ={4}.


Remarque :

La soustraction n’est pas associative.
22-\left( 3-1\right) =22-2
\  \  \  \  \  \  \  \  =20
alors que \left( 22-3\right) -1=19-1
\  \  \  \  \  \  \  \  =18.
La notation {22}-{3}-{1} n’a donc pas de sens.


2. Calculer une somme de relatifs
Définition :

L’opposé d’un nombre a est le nombre b tel que a+b={0}. On note -a l’opposé de a.


Exemples :
- l’opposé de {2} est -{2} car {2}+\left( -{2}\right) ={0}.
- l’opposé de -{\frac{1}{7}} est \frac{1}{7} car -{\frac{1}{7}}+{\frac{1}{7}}={0}.
- l’opposé de {0} est {0}, car {0}+{0}={0}.


Propriété :

Soustraire un nombre, c’est ajouter son opposé.


Exemples :
-   {6}-{3}+{7}-{2,5}={6}+\left( -{3}\right) +{7}+\left( -{2,5}\right) (Ajouter l’opposé)
\  \  \  \  \  \  \  \  \  \  \  \  \  ={6}+{7}+\left( -{3}\right) +\left( -{2,5}\right) (Commutativité)
\  \  \  \  \  \  \  \  \  \  \  \  \  = {13}+\left( -{5,5}\right) (Associativité)
\  \  \  \  \  \  \  \  \  \  \  \  \  = {7,5}
-   -{7}+{2}-{12}-{1}=\left( -{7}\right) +{2}+\left( -{12}\right) +\left( -{1}\right) (Ajouter l’opposé)
 \  \  \  \  \  \  \  \  \  \  \  \  \  \  ={2}+\left( -{7}\right) +\left( -{12}\right) +\left( -{1}\right) (Commutativité)
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ = {2}+\left( -{20}\right) (Associativité)
\  \  \  \  \  \  \  \  \  \  \  \  \  \  =-{18}



3. Calculer une somme de fractions
Définition :

Le quotient \frac{a}{b} est le nombre qui, multiplié par b donne a.


Propriété d’égalité de fractions :

Quels que soient les nombres a, b et k (avec b\neq{0} et k\neq{0}) , on a : {\frac{a}{b}}=\frac{ak}{bk}.

Démonstration :

Par définition, \frac{ac}{bc} \times bc=ac.

Par associativité de la multiplication, {\frac{a}{b}} \times bc= \left({\frac{a}{b}} \times b \right) \times c=a \times c=ac.

Puisque \frac{ac}{bc} \times bc={\frac{a}{b}} \times bc, on obtient \frac{ac}{bc}=\frac{a}{b}.


Propriété d’addition de fractions :

Quels que soient les nombres a, b et c (avec c\neq{0}) , on a : {\frac{a}{c}}+{\frac{b}{c}}=\frac{a+b}{c}.


Exemples :
- {\frac{8}{3}}-{\frac{5}{3}}=\frac{{8}-{5}}{3}=\frac{3}{3}={1}
- {\frac{11}{4}}+{\frac{3}{2}}={\frac{11}{4}}+{\frac{6}{4}}={\frac{17}{4}}
- {\frac{5}{3}}-{\frac{7}{4}}=\frac{{5} \times {4}}{{3} \times {4}}-\frac{{7} \times {3}}{{4} \times {3}}={\frac{20}{12}}-{\frac{21}{12}}=\frac{{20}-{21}}{12} =-{\frac{1}{12}}
- {\frac{5}{12}}+{\frac{2}{9}}=\frac{{5} \times {3}}{{12} \times {3}}+\frac{{2} \times {4}}{{9} \times {4}}={\frac{15}{36}}+{\frac{8}{36}}=\frac{{15}+{8}}{36}=\frac{23}{36}



Multiplication et division

II – Multiplication et division de relatifs

1. Propriétés de la multiplication
Propriété de commutativité de la multiplication :
Quels que soient les nombres a et b, on a : a \times b=b \times a.


Propriété d’associativité de la multiplication :

Quels que soient les nombres a, b et c, on a : a \times \left( b \times c\right) =\left( a \times b\right)  \times c=a \times b \times c.


Remarque :
La division n’est ni commutative ni associative.


2. Calculer un produit de relatifs
Règle du signe d’un produit :

Si, dans une multiplication, le nombre de facteurs négatifs est pair, alors le produit est positif.

Si, dans une multiplication, le nombre de facteurs négatif est impair, alors, le produit est négatif.


Définition :

L’inverse d’un nombre a non nul est le nombre b tel que a \times b={1}. On note \frac{1}{a} ou a^{-{1}} l’opposé de a.


Exemples :

- l’inverse de {5} est \frac{1}{5} car {5} \times {\frac{1}{5}}={1}.
- l’inverse de -{7} est -{\frac{1}{7}} car \left( -{7}\right)  \times \left(-{\frac{1}{7}} \right) ={1}.
- l’inverse de \frac{2}{5} est \frac{5}{2} car {\frac{2}{5}} \times {\frac{5}{2}}={1}.


Propriété :

Diviser par un nombre, c’est multiplier par son inverse.


Exemples :

-  {{25} \div {7}={25} \times {\frac{1}{7}} Multiplier par l’inverse
\ \ \ \ \ \ =\frac{25} {{7}}
-  {\frac{2}{3}} \div {\frac{7}{6}}={\frac{2}{3}} \times {\frac{6}{7}} Multiplier par l’inverse
 \  \  \  \  \  \  =\frac{{2} \times {6}}{{3} \times {7}} Produit de fractions
 \  \  \  \  \  \  =\frac{4}{7} Simplification

Enchaînement d’opérations

III – Enchaînement d’opérations

1. Priorités opératoires
Propriété :
Si un calcul comporte des parenthèses, alors on effectue les calculs entre parenthèses en priorité.
Si un calcul comporte des additions (ou des soustractions) et des multiplications (ou des divisions), alors on effectue les multiplications (et les divisions) avant les additions (et les soustractions).


Remarque :
Quand une division est présentée sous forme fractionnaire, une opération au numérateur ou au dénominateur équivaut à une opération entre parenthèses.


Exemples :
- \left( {6}+{3}\right) \times {2}={9} \times {2}
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ = {18}
- {6}+{3} \times {2}={6}+{6}
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ = {12}
- \frac{{6}+{3}}{2}=\frac{9}{2}


2. Distributivité de la multiplication sur l’addition
Propriété de distributivité :
Quels que soient les nombres k, a et b, on a : k\left( a+b\right) =ka+kb et \left( a+b\right) \times k=ak+bk.


Exemples :
-  {14} \times {6}=\left( {10}+{4}\right)  \times {6}Décomposition en somme
\  \  \  \  \  \   ={10} \times {6}+{4} \times {6} Distributivité
\  \  \  \  \  \   ={60}+{24} Priorité opératoire
\ \ \ \ \ \ ={84}
-  {3}\left( x-{2}\right) ={3}\left( x+\left( -{2}\right) \right) Ajouter l’opposé
\  \  \  \  \  \  \  \  = {3} \times x+{3} \times \left( -{2}\right) Distributivité
\ \ \ \ \ \ \ \ = {3}x+\left( -{6}\right)
\  \  \  \  \  \  \  \  = {3}x-{6}


Propriété de « double distributivité » :
Quels que soient les nombres a, b, c et d, on a : \left( a+b\right) \left( c+d\right) =ac+ad+bc+bd.


Exemples :
-  {14} \times {16}=\left( {10}+{4}\right)  \times \left( {10}+{6}\right)  Décomposition en sommes
\  \  \  \  \  \  \  \   ={10} \times {10}+{10} \times {6}+{4} \times {10}+{4} \times {6} Distributivité
\  \  \  \  \  \  \  \   =\  \  {100}\  +\  \  {60}\  \  +\  {40}\  +\  {24} Priorité opératoire
 \  \  \  \  \  \  \  \   ={224}
-  \left( {5}-t\right) \left( t-{2}\right) =\left( {5}+\left( -t\right) \right) \left( t+\left( -{2}\right) \right) Ajouter l’opposé
\  \  \  \  \  \  \  \  \  \  \  \  = {5} \times t+{5} \times \left( -{2}\right) +\left( -t\right)  \times t+\left( -t\right)  \times \left( -{2}\right) Distributivité
\  \  \  \  \  \  \  \  \  \  \  \  = \  5t\  +\  \left( -{10}\right) \  +\  \left( -t^2\right) \  +\  \  2t
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ = \ \left( -t^2\right) \ +\ \ 5t\ +\ 2t\ +\ \left( -{10}\right) Commutativité
\  \  \  \  \  \  \  \  \  \  \  \  = \  -t^2\  +\  \  \  \  \  \  7t\  \  \  \  \  -{10}


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