Strict Standards: Only variables should be passed by reference in /data/web/4/1/maths.toile-libre.org/htdocs/config/ecran_securite.php on line 283
Etude de fonctions - Mathématiques

Accueil > Première ES > Cours et Exercices > Etude de fonctions

Etude de fonctions

lundi 2 octobre 2017, par David Rodrigues

Etude de fonctions

Fonctions de référence

I – Fonctions de référence

1. Fonction racine carrée
Définition  :
On appelle fonction racine carrée la fonction qui, à tout réel positif x associe sa racine carrée.
Fonction racine carrée : $x \mapsto \sqrt{x}$

Exercice type :

Exercice type  :

Déterminer l’ensemble de définition des fonctions :

$f\left( x\right) = \sqrt {{5}-x}$ ; $g\left( x\right) = \sqrt {x^{2}+{2}x+{1}}$ ; $h\left( x\right) = \sqrt {x^{2}-{5}x+{6}}$


f est définie pour tout x tel que ${5}-x >= {0} \Leftrightarrow {5} \geq x$.

Donc $\text{D}_f=]-\infty \mathrm{;} {5}]$.

g est définie pour tout x tel que $x^{2}+{2}x+{1} \geq {0} \Leftrightarrow \left( x+{1}\right) ^{2} \geq {0}$.

Donc $D_g=]-\infty \mathrm{;} +\infty [$.

h est définie pour tout x tel que $x^{2}-{5}x+{6} \geq {0}$.

On calcule $ \mathrm{\Delta}={1}$, et les racines $x_{1}={2}$ et $x_{2}={3}$.

Alors on résout $\left( x-{2}\right) \left( x-{3}\right) \geq {0}$ à l’aide d’un tableau de signes.

Donc $\text{D}_h=]-\infty \mathrm{;} {2}]\cup[{3} \mathrm{;} +\infty [$.



Théorème :

La fonction racine carrée est strictement croissante sur $[{0}  \mathrm{;} +\infty [$


Démonstration :

Soient deux réels positifs a et b tels que $a

On étudie le signe de $ \sqrt {a}- \sqrt {b}$

$ \sqrt {a}- \sqrt {b}=\frac{\left( \sqrt {a}- \sqrt {b}\right) \left( \sqrt {a}+ \sqrt {b}\right) }{ \sqrt {a}+ \sqrt {b}}=\frac{a-b}{ \sqrt {a}+ \sqrt {b}}$.

Or $a-b<{0}$. Donc $ \sqrt {a}- \sqrt {b}<{0}$ et $ \sqrt {a}< \sqrt {b}$.

Par définition, la fonction racine carrée est strictement croissante sur $[{0,}+\infty [$,


2. Fonction cube
Définition  :
On appelle fonction cube la fonction qui, à tout réel x associe son cube.
Fonction cube : $x \mapsto x^3$


Théorème (admis) :
La fonction cube est strictement croissante sur $]-\infty;+\infty [$


Dérivation

II – Formules de dérivation

1. Dérivées des fonctions de référence

Propriétés  :

Forme de la fonctionEnsemble de définitionForme de la dérivéeEnsemble de définition
$x^n$ (avec n entier positif) $]-\infty \mathrm{;} +\infty [$ $nx^{n-{1}}$ $]-\infty \mathrm{;} +\infty [$
$x=x^{1}$ $]-\infty \mathrm{;} +\infty [$ ${1}x^{0}={1}$ $]-\infty \mathrm{;} +\infty [$
$x^{2}$ $]-\infty \mathrm{;} +\infty [$ ${2}x$ $]-\infty \mathrm{;} +\infty [$
$x^{3}$ $]-\infty \mathrm{;} +\infty [$ ${3}x^{2}$ $]-\infty \mathrm{;} +\infty [$
$\frac{1}{x^n} =x^{-n}$ (avec n entier positif) $]-\infty \mathrm{;} {0}[\cup]{0}  \mathrm{;} +\infty [$ $-\frac{n}{x^{n+{1}}}= -nx^{-{n+{1}}}$ $]-\infty \mathrm{;} {0}[\cup]{0}  \mathrm{;} +\infty [$
$\frac{1}{x}=x^{-{1}}$ $]-\infty \mathrm{;} {0}[\cup]{0}  \mathrm{;} +\infty [$ $-x^{-{2}}=-{\frac{1}{x^{2}}}$ $]-\infty \mathrm{;} {0}[\cup]{0}  \mathrm{;} +\infty [$
$ \sqrt {x}$ $[{0} \mathrm{;} +\infty [$ $\frac{1}{{2} \sqrt {x}}$ $]{0} \mathrm{;} +\infty [$


2. Dérivées de fonctions composées

Propriétés  :

Soient deux fonctions $u(x)$ et $v(x)$ dérivables sur un intervalle et un réel $k$.

Opération sur les fonctionsDérivée
$u+v$ $u'+v'$
$ku$ $ku'$
$ax+b$ $a$
$\frac{1}{u}$ $-{\frac{u'}{u^{2}}}$
$u \times v$ $u'v+uv'$
$\frac{u}{v}$ $\frac{u'v-uv'}{v^{2}}$

Exercice type :

Dériver les fonctions

$f\left( x\right) =x^{3}+{5}x^{2}+\frac{5}{x}$ $g\left( x\right) =x \sqrt {x}$ $h\left( x\right) =\frac{{2}x+{2}}{x^{2}-x}$


$f'\left( x\right) ={3}x^{2}+{5} \times {2}x+{5} \times \left (-{\frac{1}{x^{2}}} \right) ={3}x^{2}+{10}x-\frac{5}{x^{2}}$.

$g'\left( x\right) ={1} \times \sqrt {x}+x \times {\frac{1}{{2} \sqrt {x}}} = \sqrt {x}+\frac{ \sqrt {x}}{2}={\frac{3}{2}} \sqrt {x}$.

$h'\left( x\right) =\frac{{2} \times \left( x^{2}-x\right) -\left( {2}x+{2}\right) \left( {2}x-{1}\right) }{\left( x^{2}-x\right) ^{2}} =\frac{{2}x^{2}-{2}x-{4}x^{2}+{2}x-{4}x+{2}}{\left( x^{2}-x\right) ^{2}} =\frac{-{2}x^{2}-{4}x+{2}}{\left( x^{2}-x\right) ^{2}}$.


Etude de fonction

III – Étude de fonction

1. Sens de variation d’une fonction
Théorème (admis) :
Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle I et $f’$ sa fonction dérivée.
La fonction $f$ est strictement croissante sur I si et seulement si pour tout x de I, $f(x) > 0$.
La fonction $f$ est strictement décroissante sur I si et seulement si pour tout x de I, $f(x) < 0$.
La fonction $f$ est constante sur I si et seulement si pour tout x de I, $f(x) = 0$.


Exercice type :

Étudier le sens de variations des fonctions $f\left( x\right) ={2}x^{2}+{3}x-{5}$ et $g\left( x\right) =\frac{{3}x^{3}+{2}}{x-{1}}$.

f est définie et dérivable sur R.

$f'\left( x\right) ={4}x+{3}$.

On établit le tableau de variations de f .

JPEG - 15.2 ko

g est définie et dérivable sur $\text{R}-{1}$.

Elle est de la forme $\frac{u}{v}$ avec $u={3}x^{3}+{2}$, $v=x-{1}$, $u'={9}x^{2}$ et $v'={1}$.

Alors $g'\left( x\right) =\frac{\left( {9}x^{2}\right) \left( x-{1}\right) -\left( {3}x^{3}+{2}\right) }{\left( x-{1}\right) ^{2}} =\frac{{6}x^{3}-{9}x^{2}-{2}}{\left( x-{1}\right) ^{2}}$

g’ est du signe de ${6}x^{3}-{9}x^{2}-{2}$.

On établit le tableau de variations de g .

JPEG - 16.9 ko



2. Extrema d’une fonction
Théorème  :

Soit une fonction dérivable sur un intervalle I et f’ sa fonction dérivée. On considère un nombre a appartenant à I.

f admet un extremum en a si et seulement si $f'\left( a\right) ={0}$ ET $f'$ change de signe en a .



Preuve :

Découle de la lecture du tableau de variations.



SPIP | | Plan du site | Suivre la vie du site RSS 2.0
Habillage visuel © digitalnature sous Licence GPL