Strict Standards: Only variables should be passed by reference in /data/web/4/1/maths.toile-libre.org/htdocs/config/ecran_securite.php on line 283
Equations de droites - Mathématiques

Accueil > Seconde > Cours et Exercices > Equations de droites

Equations de droites

lundi 2 octobre 2017, par David Rodrigues

Équations de droites

Équation de droite

I – Équation de droite

1. Cas d’une droite parallèle à l’axe des ordonnées

Démonstration

Soit une droite (d) parallèle à l’axe des ordonnées (OJ).

Il existe alors un point C de l’axe des abscisses appartenant à (d) . On note c son abscisse. On a donc $\text{C}\left( c nitalic: {0}\right) $ ∈ (d) .

Pour tout point $\text{M}\left( x \mathrm{;} y\right) $ du plan, on a : M ∈ (d) ⇔ (CM)//(OJ) ⇔ $ \overrightarrow{\text{CM}}$ et $ \overrightarrow{\text{OI}}$ sont colinéaires.

On exprime $ \overrightarrow{\text{CM}} \left(\matrix{x-c \cr y}\right)$ et $ \overrightarrow{\text{OJ}} \left(\matrix{{0} \cr {1}}\right)$. On cherche un nombre k tel que $\overrightarrow{\text{CM}}=k \overrightarrow{\text{OJ}}$.

On résout : $\left \{ \matrix{{ x-c={0}} \cr {y=k }} \right .$ ⇔ $\left \{ \matrix{{ x=c} \cr {y=k }} \right .$.

Pour tout point $\text{M}\left( x \mathrm{;} y\right) $, M ∈ (d) ⇔ $x=c$.

Alors (d) a pour équation $x=c$.


Théorème  :

Toute droite d parallèle à l’axe des ordonnées a une équation de la forme $x=c$ où c est un réel.



2. Cas d’une droite sécante à l’axe des ordonnées

Démonstration

Soit une droite d sécante à l’axe des ordonnées.

Il existe alors un point B d’abscisse 0 appartenant à d. On note p son ordonnée. On a donc $\text{B}\left( {0} nitalic: p\right) $ ∈ d .

Il existe au moins un point $\text{A}\left( x_\text{A} \mathrm{;} y_\text{A}\right) $ avec $x_\text{A}<>{0}$ tel que A ∈ d .

Puisque $x_\text{A}<>0$, on peut considérer le nombre $ m=\frac{y_\text{A}-p}{x_\text{A}}$. On a alors : $y_\text{A}=mx_\text{A}+p$.

Soit la fonction f définie sur R par $f\left( x\right) =mx+p$.

Puisque f est une fonction affine, C f sa courbe représentative dans le repère (O,I,J) est une droite.

On sait que $f\left( {0}\right) =b$ donc B ∈ C f et $f\left( x_\text{A}\right) =y_\text{A}$ donc A ∈ C f .

A et B sont deux points distincts de C f , donc C f = (AB) = d .

Puisque d est la courbe représentative de f dans le repère (O ;I ;J), d a pour équation $y=f\left( x\right) $, c’est à dire, $y=mx+p$.

Alors, pour tout point $\text{M}\left( x \mathrm{;} y\right) $, on a : M ∈ d ⇔ $y=mx+p$.

Pour tout point $\text{M}\left( x \mathrm{;} y\right) $, on a : M ∈ (AB) ⇔ (BM)//(BA) ⇔ $ \overrightarrow{\text{BM}}$ et $ \overrightarrow{\text{BA}}$ colinéaires.

On exprime $ \overrightarrow{\text{BM}} \left(\matrix{x \cr y- {p}}\right)$ et $ \overrightarrow{\text{BA}} \left(\matrix{x_\text{A} \cr y_\text{A}-{p}}\right)$. On cherche un nombre k tel que $ \overrightarrow{\text{BM}}= k \overrightarrow{\text{BA}}$.

On résout : $\left \{ \matrix{{ x=kx_\text{A}} \cr {y-p=k\left( y_\text{A}-p\right) }} \right .$ ⇔ $\left \{ \matrix{{ x=kx_\text{A}} \cr {y-p=k\left( mx_\text{A}+p-p\right) }} \right .$ ⇔ $\left \{ \matrix{{ x=kx_\text{A}} \cr {y-p=kmx_\text{A} }} \right .$ ⇔ $\left \{ \matrix{{ x=kx_\text{A} } \cr {y-p=mx }} \right .$ ⇔ $\left \{ \matrix{{ k=\frac{x}{x_\text{A}}} \cr {y=mx+p }} \right .$.

Pour tout point $\text{M}\left( x \mathrm{;} y\right) $, on a : M ∈ (d) ⇔ $y=mx+p$.

Alors (d) a pour équation $y=mx+p$.


Théorème  :

Toute droite d sécante à l’axe des ordonnées a une équation de la forme $y=mx+p$ où m et p sont deux réels.



Définitions  :

On considère une droite qui a pour équation $y=mx+p$ où m et p sont deux réels.

Le réel m est appelé coefficient directeur (ou pente) de la droite et le réel p est l’ordonnée à l’origine de la droite.


Théorème  :

On se place dans un repère (O,I,J).

Toute droite du plan admet une équation, soit de la forme $y=mx+p$, où m et p sont deux réels, soit de la forme $x=c$, où c est un réel.



3. Calcul du coefficient directeur
Théorème  :

On se place dans un repère (O,I,J) et on considère les points $\text{A}\left( x_A;y_A\right) $ et $\text{B}\left( x_B;y_B\right) $ avec $x_A<>x_B$.

Le coefficient directeur de (AB) est : $ m=\frac{y_\text{B}-y_\text{A}}{x_\text{B}-x_\text{A}}$.


Démonstration

Puisque $x_A<>x_B$, (AB) n’est pas parallèle à l’axe des ordonnées. Elle a donc une équation de la forme $y=mx+p$.

On a donc $y_\text{A}=mx_\text{A}+p$ et $y_B=mx_B+p$.

Alors $p=y_A-mx_A=y_B-mx_B$, puis $m\left( x_B-x_A\right) =y_B-y_A$ et $m=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$.


Exercice type

On se place dans un repère du plan.

Soient les points $\text{A}\left( -{2} \mathrm{;} {1}\right) $, $\text{B}\left( {4} \mathrm{;} {2}\right) $, $\text{C}\left( -{2} \mathrm{;} -{1}\right) $ et $\text{D}\left( -{1} \mathrm{;} {2}\right) $.

Déterminer une équation des droites (AB), (AC), (BC) et (BD).


Équation de (AB)

$x_\text{A}<>x_\text{B}$, donc (AB) a une équation de la forme $y=mx+p$.

On calcule $m=\frac{y_\text{B}-y_\text{A}}{x_\text{B}-x_\text{A}}=\frac{{2}-{1}}{{4}-\left( -{2}\right) }=\frac{1}{6}$.

Puisque A ∈ (AB), $y_\text{A}=\frac{1}{6}x_\text{A}+p$. Donc ${1}=-\frac{2}{6}+p$ et $p=\frac{4}{3}$

(AB) a pour équation $y={\frac{1}{3}}x+{\frac{4}{3}}$.

Équation de (AC)

$x_\text{A}=x_\text{C}=-2$, donc (AC) a une équation de la forme $x=c$.

(AC) a pour équation $x=-2$.

Équation de (BC)

$x_\text{B}<>x_\text{C}$, donc (BC) a une équation de la forme $y=mx+p$.

On calcule $m=\frac{y_\text{C}-y_\text{B}}{x_\text{C}-x_\text{B}}=\frac{{-1}-{2}}{{-2}-{4}}=\frac{1}{2}$.

Puisque B ∈ (BC), $y_\text{B}=\frac{1}{2}x_\text{B}+p$. Donc ${2}=\frac{4}{2}+p$ et $p={0}$

(BC) a pour équation $y={\frac{1}{2}}x$.

Équation de (BD)

$x_\text{B}<>x_\text{D}$, donc (BD) a une équation de la forme $y=mx+p$.

On calcule $m=\frac{y_\text{D}-y_\text{B}}{x_\text{D}-x_\text{B}}=\frac{{2}-{2}}{-{1}-{4}}={0}$.

Puisque B ∈ (BD), $y_\text{B}=p$. Donc $p={2}$.

(BD) a pour équation $y={2}$.


Position relative

II – Position relative de deux droites

1. Droites parallèles

Démonstration

On considère deux droites (d) et (d’) d’équation respective $x=c$ et $x=c’$.

Puisque (d) et (d’) sont parallèles à l’axe des ordonnées, elles sont parallèles entre elles.

On considère deux droites (d) et (d’) d’équation respective $x =c$ et $y =mx+p$.

Puisque (d) est parallèle à l’axe des ordonnées et (d’) ne l’est pas, les droites sont sécantes.

On considère deux droites (d) et (d’) d’équation respective $y =mx+p$ et $y =m'x+p'$.

- Si $m ={0}$ et $m' ={0}$, les deux droites sont parallèles à l’axe des abscisses et sont donc parallèles entre elles.

- Si $m ={0}$ et $m' <>{0}$, (d) est parallèle à l’axe des abscisses et (d’) ne l’est pas. Donc les droites sont sécantes.

- Si $m <>{0}$ et $m' <>{0}$, on considère les points $\text{A}\left( {0} \mathrm{;} y_\text{A}\right) $ et $\text{B}\left( {1} \mathrm{;} y_\text{B}\right) $ appartenant à (d) et $\text{C}\left( {0} \mathrm{;} y_\text{C}\right) $ et $\text{D}\left( {1} \mathrm{;} y_\text{D}\right) $ appartenant à (d’) .

Les droites (d) et (d’) sont parallèles si et seulement si $ \overrightarrow{\text{AB}}$ et $ \overrightarrow{\text{CD}}$ sont colinéaires.

On calcule les vecteurs $ \overrightarrow{\text{AB}} \left(\matrix{{1} \cr {m}}\right)$ et $ \overrightarrow{\text{CD}} \left(\matrix{{1} \cr {m'}}\right)$.

On cherche un nombre k tel que $ \overrightarrow{\text{AB}}= k \overrightarrow{\text{CD}}$. On résout : $\left \{ \matrix{{ {1}=k } \cr {m=km' }} \right .$ ⇔ $\left \{ \matrix{{ {1}=k} \cr {m=m' }} \right .$.

Donc (d) // (d’) ⇔ $m=m'$.


Théorème  :

Deux droites d’équation respective $x=c$ et $x=c'$ sont parallèles (ou confondues).

Deux droites d’équation respective $x =c$ et $y =mx+p$ sont sécantes.

Deux droites d’équation respective $y =mx+p$ et $y =m'x+p'$ sont parallèles si et seulement si $m =m'$.


Exercice type

On se place dans un repère du plan.

Soient les points $\text{A}\left( {1} \mathrm{;} {2}\right) $, $\text{B}\left( {3} \mathrm{;} {7}\right) $ , $ \text{C} \left(\frac{1}{2} \mathrm{;} -{1} \right)$ et $ \text{D} \left(\frac{5}{2} \mathrm{;} {4} \right)$.

a) Étudier la position relative des droites (AB) et (CD).

b) Déterminer une équation de la droite parallèle à (BD) passant par A.


Coefficient directeur de (AB)

$x_\text{A}<>x_\text{B}$, donc (AB) a une équation de la forme $y=mx+p$.

On calcule $m=\frac{y_\text{B}-y_\text{A}}{x_\text{B}-x_\text{A}}=\frac{{7}-{2}}{{3}-\left( {1}\right) }=\frac{5}{2}$.

Coefficient directeur de (CD)

$x_\text{C}<>x_\text{D}$, donc (CD) a une équation de la forme $y=mx+p$.

On calcule $m=\frac{y_\text{D}-y_\text{C}}{x_\text{D}-x_\text{C}}=\frac{{4}-{\left( -{1}\right) }}{{\frac{5}{2}}-{\frac{1}{2}}}=\frac{5}{2}$.

Puisque (AB) et (CD) ont le même coefficient directeur, les droites (AB) et (CD) sont parallèles.

Coefficient directeur de (BD)

$x_\text{B}<>x_\text{D}$, donc (BD) a une équation de la forme $y=mx+p$.

On calcule $m=\frac{y_\text{D}-y_\text{B}}{x_\text{D}-x_\text{B}}=\frac{{4}-{7}}{{\frac{5}{2}}-{3}}=\frac{-{3}}{-{\frac{1}{2}}}=6$.

Toute droite parallèle à (BD) a pour coefficient directeur 6.

Ordonnée à l’origine

La parallèle à (BD) passant par A vérifie : $y_\text{A}={6}x_\text{A}+p$.

Donc ${2}={6}+p$ et $p=-{4}$.

La droite parallèle à (BD) passant par A a pour équation :

$y={6}x-{4}$.



2. Points alignés
Théorème  :
On se place dans un repère du plan.
Soient 3 points A, B et C d’abscisse distincte.
A, B et C sont alignés si et seulement si les droites (AB) et (AC) ont même coefficient directeur.


Démonstration

A, B et C sont alignés ⇔ (AB)//(AC) ⇔ (AB) et (AC) ont même coefficient directeur.


Résolution de systèmes

III – Résolution de systèmes d’équations

Problème 1

Dans un service administratif il y a 32 personnes. 5 hommes et 3 femmes partent en retraite et ne seront pas remplacés. Il y aura alors 2 fois plus de femmes que d’hommes dans ce service.
Combien y a-t-il d’hommes et de femmes actuellement dans ce service ?


Soit H le nombre d’hommes et F le nombre de femmes.

On sait que : $\left \{ \matrix{{ \text{H}+\text{F}={32}} \cr {\text{F}-{3}={2} \times \left( \text{H}-{5}\right) }} \right .$.

Algébriquement

On résout le système de 2 équations à 2 inconnues :

$\left \{ \matrix{{ x+y={32}} \cr {y-{3}={2}\left( x-{5}\right) }} \right .$ ⇔ $\left \{ \matrix{{ y={32}-x} \cr {{32}-x-{3}={2}x-{10} }} \right .$ ⇔ $\left \{ \matrix{{ y={32}-x} \cr {{39}={3}x }} \right .$ ⇔ $\left \{ \matrix{{ y={19}} \cr {x={13} }} \right .$. $\text{S}={\left( {13} \mathrm{;} {19}\right) }$.

Il y a actuellement 13 hommes et 19 femmes dans le service.

Graphiquement

On considère le système de 2 équations à 2 inconnues :

$\left \{ \matrix{{ x+y={32}} \cr {y-{3}={2}\left( x-{5}\right) }} \right .$ ⇔ $\left \{ \matrix{{ y={32}-x} \cr {y={2}x-{10}+{3} }} \right .$ ⇔ $\left \{ \matrix{{ y={32}-x} \cr {y={2}x-{7} }} \right .$.

On trace les droites d’équation respective $y={32}-x$ et $y={2}x-{7}$. Puisque ${2}<>-{1}$ elles sont sécantes.

Le point d’intersection des droites a pour coordonnées (13 ;19).

Il y a actuellement 13 hommes et 19 femmes dans le service.


Problème 2

A la terrasse d’un café, la table A a une addition de 19,60 € pour 3 expressos et 5 cappuccinos et la table B une addition de 27,20 € pour 4 expressos et 7 cappuccinos.
La table C a commandé 2 expressos et 4 cappuccinos. A combien se monte l’addition ?


On note E le prix en euros d’un expresso et C le prix en euros d’un cappuccino.

On sait que $\left \{ \matrix{{ {3}\text{E}+{5}\text{C}={19,6}} \cr {{4}\text{E}+{7}\text{C}={27,2} }} \right .$.

Algébriquement

On résout :

$\left \{ \matrix{{ {3}x+{5}y={19,6}} \cr {{4}x+{7}y={27,2} }} \right .$ ⇔ $\left \{ \matrix{{ {12}x+{20}y={78,4}} \cr {{12}x+{21}y={81,6} }} \right .$ ⇔ $\left \{ \matrix{{ {3}x+{5}y={19,6}} \cr {y={3,2} }} \right .$ ⇔ $\left \{ \matrix{{ {3}x+{16}={19,6}} \cr {y={3,2} }} \right .$ ⇔ $\left \{ \matrix{{ x={1,2}} \cr {y={3,2} }} \right .$. $\text{S}=\left( {1,2} \mathrm{;} {3,2}\right) $

Le prix d’un expresso est 1,20 € et le prix d’un cappuccino est 3,20 €.

On calcule : ${2} \times {1,2}+{4} \times {3,2}={15,2}$

Le montant de l’addition de la table C est 15,20 €.

Graphiquement

On considère :

$\left \{ \matrix{{ {3}x+{5}y={19,6}} \cr {{4}x+{7}y={27,2} }} \right .$ ⇔ $\left \{ \matrix{{ y=\frac{19,6}{5}-\frac{{3}x}{5}} \cr {y=\frac{27,2}{7}-\frac{{4}x}{7} }} \right .$.

On trace les droites d’équation respective $y={3,92}-{0,6}x$et $y=\frac{27,2}{7}-{\frac{4}{7}}x$.

Puisque $-{0,6}<>-{\frac{4}{7}}$, les droites sont sécantes.

ATTENTION : TRACÉ IMPRÉCIS !

Le point d’intersection de ces droites a pour coordonnées (1,2 ;3,2).

Le prix d’un expresso est 1,20 € et le prix d’un cappuccino est 3,20 €.

On calcule : ${2} \times {1,2}+{4} \times {3,2}={15,2}$

Le montant de l’addition de la table C est 15,20 €.


SPIP | | Plan du site | Suivre la vie du site RSS 2.0
Habillage visuel © digitalnature sous Licence GPL