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Suites numériques II - Mathématiques

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Suites numériques II

jeudi 19 octobre 2017, par David Rodrigues

Suites numériques II

Suites arithmétiques

I – Suite arithmétique

1. Définition et terme général
Définition :

On appelle suite arithmétique une suite dont la relation de récurrence est du type $u\left( n+{1}\right) =u\left( n\right) +r$, où r est un réel.

Le réel r est appelé raison de la suite.


Propriété (admise) :

Soit $\left( u\right) $ une suite arithmétique de raison r .

On a pour tous entiers $m$ et $n$ : $u\left( n\right) =u\left( m\right) +\left( n-m\right) r$.

Notamment : $u\left( n\right) =u\left( {0}\right) +nr$.


Exercice type

On considère la suite numérique $u\left( n\right) =\frac{n^{2}-n-{2}}{n+{1}}$.

Démontrer que $\left( u\right) $ est arithmétique.


$\left( u\right) $ est arithmétique si $u\left( n+{1}\right) -u\left( n\right) =r$.

On exprime $u\left( n+1\right) =\frac{\left( n+{1}\right) ^{2}-\left( n+{1}\right) -{2}}{n+{1}+{1}} =\frac{n^{2}+n-2}{n+{2}}$.

Alors $u\left( n+{1}\right) -u\left( n\right) =\frac{n^{2}+n-{2}}{n+{2}}-\frac{n^{2}-n-{2}}{n+{1}} ={1}$.

Donc $\left( u\right) $est une suite arithmétique de raison 1.

On calcule $u\left( {0}\right) =-{2}$.

Le terme général de $\left( u\right) $ est $u\left( n\right) =n-{2}$.


Autre méthode :

On factorise $n^{2}-n-{2} =\left( n-{2}\right) \left( n+{1}\right) $.

Alors $u\left( n\right) =\frac{\left( n-{2}\right) \left( n+{1}\right) }{n+{1}} =n-{2}$.

Donc $\left( u\right) $ est arithmétique de raison 1 et de premier terme -2.



2. Sens de variations
Propriété :

Soit $\left( u\right) $ une suite arithmétique de raison r .

La suite $\left( u\right) $ est croissante si et seulement si $r > {0}$.

La suite $\left( u\right) $ est décroissante si et seulement si $r < {0}$.

La suite $\left( u\right) $ est constante si et seulement si $r ={0}$.



Démonstration :

Sens de variation d’une fonction affine.


Exercice type On considère la suite numérique $v\left( n\right) ={6}-{2}x$.

Démontrer que $\left( v\right) $ est décroissante, puis déterminer à partir de quel terme $v\left( n\right) \, < \, -{50}$


$\left( v\right) $ est arithmétique de raison -2, donc elle est décroissante.

On résout $v\left( n\right) < -{50}$ eq ${6}-{2}x < -{50}$ eq ${56} < {2}x$ eq ${28} < x$.

Donc $v\left( n\right) $ est inférieure à -50 à partir du 29e terme.


Suites géométriques

II – Suite géométrique

1. Définition et terme général
Définition :

On appelle suite géométrique une suite dont la relation de récurrence est du type $u\left( n+{1}\right) =u\left( n\right) \times q$, où q est un réel.

Le réel q est appelé raison de la suite.


Propriété (admise) :

Soit $\left( u\right) $ une suite géométrique de raison q non nulle.

On a, pour tous entiers $m$ et $n$ : $u\left( n\right) =u\left( m\right) \times q^{n-m}$.

Notamment : $u\left( n\right) =u\left( {0}\right) \times q^n$.


Exercice type

On considère la suite numérique $\left( u\right) $ définie par $u\left( {0}\right) ={8}$ et $u\left( n+{1}\right) ={3}u\left( n\right) $.

Démontrer que $\left( u\right) $ est géométrique, puis calculer $u\left( {42}\right) $.


$\left( u\right) $ est géométrique si $\frac{u\left( n+{1}\right) }{u\left( n\right) }=q$.

On exprime $\frac{u\left( n+{1}\right) }{u\left( n\right) }={3}$.

Donc $\left( u\right) $ est géométrique de raison 3 et de premier terme 8.

Alors le terme général est : $u\left( n\right) ={8} \times {3}^n$.

On calcule $u\left( {42}\right) ={8} \times {3}^{42}$.



2. Sens de variations
Propriété  :

Soit $\left( u\right) $ une suite géométrique de premier terme positif et de raison q .

La suite $\left( u\right) $ est croissante si et seulement si $q > {1}$.

La suite $\left( u\right) $ est décroissante si et seulement si ${0} < q < {1}$.



Remarque  : Si le premier terme est négatif, alors le sens de variation est inversé.

Démonstration :

Si $q > {1}$, alors pour tout entier naturel $n$, $q^n > q$, d’où la croissance.

Si ${0} < q < {1}$, alors pour tout entier naturel n, $q^n < q$, d’où la décroissance.

Si $q < {0}$, alors $q^n$ change de signe à chaque rang. La suite n’est alors ni croissante, ni décroissante.


Exercice type

On considère la suite numérique $v\left( n\right) ={3} \times {2}^n$

Démontrer que $\left( v\right) $ est croissante, puis déterminer à partir de quel terme $v\left( n\right) >{100}$.


$\left( v\right) $ est géométrique de raison 2 et de premier terme 3.

Puisque le premier terme est positif et la raison supérieure à 1, $\left( v\right) $ est croissante.

A la calculatrice, on détermine $v\left( {4}\right) ={72}$ et $v\left( {5}\right) ={144}$. Donc $v\left( n\right) > {100}$ à partir du 5e rang

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