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Fonctions affines et linéaires - Mathématiques

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Fonctions affines et linéaires

lundi 18 septembre 2017, par David Rodrigues

Fonctions affines et linéaires

Fonctions affines

I – Fonctions affines

1. Fonctions affines et linéaires
Définitions :

Soient deux nombres réels $a$ et $b$.

On appelle fonction affine une fonction qui, à tout $x$ réel, associe le nombre $a x+b$,

On appelle fonction linéaire une fonction qui, à tout $x$ réel, associe le nombre $ax$.


Remarque  : toute fonction linéaire est une fonction affine, car si $b={0}$, alors $ax+b=ax$.



2. Image et antécédents

Exercice type :

Soit la fonction $f\left( x\right) =3x+2$.

1. Calculer $f \left(\frac{7}{2} \right)$.

2. Calculer l’image de 5 par f .

3. Résoudre $f\left( x\right) =2$.

4. Déterminer l’antécédent de 8 par f .


1. On calcule $f \left(\frac{7}{2} \right)={3} \times \left(\frac{7}{2} \right)+{2} =\frac{21}{2}+{2}=\frac{25}{2}$

2. On calcule $f\left( {5}\right) ={3} \times {5}+{2} ={17}$.

L’image de 5 par f est 17.

3. On résout $f\left( x\right) ={2}$.

$3x+2=2$ $3x=0$ $x=0$

4. On résout $f\left( x\right) ={8}$.

$3x+2=8$ $3x=6$ $x=2$

L’antécédent de 8 par f est 2.



3. Propriétés de linéarité
Propriété (linéarité des accroissements) :

Quelque soit la fonction affine $f\left( x\right) =ax+b$ et les nombres distincts $x$ et $x'$, on a :

$\frac{f\left( x\right) -f\left( x'\right) }{x-x'}=a$


Démonstration :

$f\left( x\right) -f\left( x'\right) =\left( ax+b\right) -\left( ax'+b\right) =ax-ax'+b-b=a\left( x-x'\right) $.

D’où la propriété.


Propriétés (linéarité) :

Quelque soit la fonction linéaire $f\left( x\right) =ax$ et les nombres distincts $k$, $x$ et $x'$.

$f\left( x+x'\right) =f\left( x\right) +f\left( x'\right) $

$f\left( kx\right) =kf\left( x\right) $



Démonstration :

$f\left( x+x'\right) =a\left( x+x'\right) =ax+ax'=f\left( x\right) +f\left( x'\right) $.

$f\left( kx\right) =akx=kax=kf\left( x\right) $.


4. Déterminer l’expression d’une fonction

Exercice type :

La fonction f est affine.

On sait que f (2)=2 et que f (4)=6.

Déterminer une expression de f .

f est une fonction affine. Elle a donc une expression de la forme $f\left( x\right) =ax+b$.

On calcule le coefficient directeur a .

$a=\frac{f\left( {4}\right) -f\left( {2}\right) }{{4}-{2}}=\frac{{6}-{2}}{{4}-{2}}=\frac{4}{2}=2 $.

Donc $f\left( x\right) =2x+b$.

On résout l’équation d’inconnue b  : $f\left( 2\right) =3$.

${2} \times {2}+b={3}$ $4+b=3$ $b=-1$

Une expression de f est : $f\left( x\right) ={2}x-{1}$.


La fonction g est linéaire.

On sait que g (3)=5.

Déterminer une expression de g .




g est une fonction linéaire. Elle a donc une expression de la forme $g\left( x\right) =ax$.

On résout l’équation d’inconnue a  : $g\left( 3\right) =5$.

$3a=5$ $a=5/3$

Une expression de g est $g\left( x\right) =\frac{5}{3}x$.


Représentation graphique

II – Représentation graphique

1. Courbe représentative
Propriété  :

Quelque soit la fonction affine $f\left( x\right) =ax+b$, la courbe représentative de la fonction f dans un repère est une droite passant par le point de coordonnées (0 ;b) dont la pente est a .


Propriété  :

Quelque soit la fonction linéaire $f\left( x\right) =ax$, la courbe représentative de la fonction f dans un repère est une droite passant par l’origine dont la pente est a .

2. Construire la courbe représentative d’une fonction affine

Exercice type :

Construire la représentation graphique de la fonction $f\left( x\right) ={2}x-{5}$ dans un repère orthogonal.


La fonction f est affine. On a besoin de deux points pour construire sa droite représentative.

On calcule $f\left( 0\right) =-5$ et $f\left( 3\right) =1$. Les points de coordonnées $\left( 0;-5\right) $ et $3;1$ appartiennent à la droite.

Construire la représentation graphique de la fonction $g\left( x\right) =3x$ dans un repère orthogonal.

La fonction g est linéaire. Sa droite représentative passe donc par l’origine. On a besoin d’un autre point pour la tracer.

On calcule $g\left( 2\right) =6$. Les points de coordonnées $\left( 0;0\right) $ et $\left( 2;6\right) $ appartiennent à la droite.



3. Déterminer graphiquement l’expression d’une fonction affine

Exercice type :

Soit la f la fonction dont la représentation graphique est donnée.

Déterminer une expression de f .

La courbe représentative est une droite, donc la fonction f est affine. Elle a donc une équation de la forme $y=ax+b$.

On lit graphiquement l’ordonnée à l’origine : $b={1}$.

On lit graphiquement la pente. Si on avance de 1 sur les abscisses, la droite « monte » de $\frac{1}{2}$. La pente est donc : $a=\frac{1}{2}$.

Une expression de f est donc $f\left( x\right) =\frac{1}{2}x+{1}$.



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