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Fonctions polynômes - Mathématiques

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Fonctions polynômes

lundi 5 novembre 2018, par David Rodrigues

Fonctions polynôme du second degré

Généralités

I – Généralités

1. Définition
Définition :

La fonction $ f $ définie sur $R$ est appelée fonction polynôme du second degré si et seulement s’il existe trois réels a, b et c (avec $a \neq{0}$) tels que, pour tout x réel $f \left( x\right) =ax^{2}+bx+c$.


Exercice type

Soit la fonction $f$ définie sur $[-{5} \mathrm{;} {3}]$ par $f\left( x\right) =\left( {2}x-{3}\right) \left( {4}+x\right) $.

a) Montrer que $f$ est une fonction polynôme du second degré.

b) Résoudre l’inéquation : $f\left( x\right) =-{12}$

c) Résoudre l’équation : $f\left( x\right) \ge {0}$


a) On développe :

$\begin{array}{r c l} f \left( x\right) &=&\left( {2}x-{3}\right) \left( {4}+x\right) \\ \ \ \ \ &=&{2}x^{2}+{5}x-{12} \end{array}$

Alors $f$ est de la forme $ax^{2}+bx+c$ avec $a=2$, $b=5$ et $c=-12$.

Donc $f$ est un polynôme du second degré.



b) On résout :

$\begin{array}{c r c l} &f\left( x\right) &=&-{12}\\ \Leftrightarrow & {2}x^{2}+{5}x-{12} &=& -{12}\\ \Leftrightarrow & {2}x^{2}+{5}x &=& {0} \\ \Leftrightarrow & x\left( {2}x+{5}\right) &=& {0} \\ \Leftrightarrow & x={0} &\text{ ou } & {2}x+{5} = {0} \\ \Leftrightarrow & x = {0} &\text{ ou } & x = -\frac{5}{2} \end{array}$
$ \text{S}= \left \{ -\frac{5}{2} \mathrm{;} {0} \right \} $


c) On résout :
${2}x-{3}={0} \Leftrightarrow x=\frac{3}{2}$ et ${4}+x={0} \Leftrightarrow x=-{4}$

On établit le tableau de signes :

$x$ -5 -4 1,5 3
Signe de ${2}x-{3}$ $\vdots$ 0 +
Signe de ${4}+x$ 0 + $\vdots$ +
Signe du produit + 0 0 +

$\text{S}=[-{5} \mathrm{;} {4}]\cup[{1,5} \mathrm{;} {3}]$


2. Forme canonique
Théorème (admis) :

Pour toute fonction polynôme $f\left( x\right) =ax^{2}+bx+c$, il existe des réels u et v tels que $f\left( x\right) =a\left( x-u\right) ^{2}+v$.


Exercice type :

Soit la fonction g définie sur $R$ par $g\left( x\right) ={2}\left( x-{2}\right) ^{2}-{5}$

a) Montrer que g est une fonction polynôme du second degré.

b) Démontrer que g admet un minimum sur R.


a) On développe :

$\begin{array}{r c l} g&=&{2}\left( x-{2}\right) ^{2}-{5} \\ \ \ \ \ &=&{2}\left( x^{2}-{4}x+{4}\right) -{5} \\ \ \ \ \ &=&{2}x^{2}-{8}x+{8}-{5} \\ \ \ \ \ &=&{2}x^{2}-{8}x+{3} \end{array}$.

La fonction $g$ est un polynôme du second degré avec $a=2$, $b=-8$ et $c=3$.



b) On conjecture que le minimum de $g$ sur $R$ est $-5$.

On résout : $g\left( x\right) =-{5}$.

$S=\{ 2 \}$


On démontre que, pour tout $x$ réel, $g(x) \ge -5$.

On sait que, pour tout $x$ réel :

$\begin{array}{c r c l} &\left( x-{2}\right) ^{2} &\geq& {0}\\ \Leftrightarrow & {2}\left( x-{2}\right) ^{2} &\geq& {0} \\ \Leftrightarrow & {2}\left( x-{2}\right) ^{2}-{5} &\geq &-{5}\\ \Leftrightarrow & g\left( x\right) & \geq &-{5} \end{array}$

Donc, pour tout $x$ réel, $g\left( x\right) \geq -{5}$


Puisque $-5$ est la plus petite image atteinte par $g$, $-5$ est le minimum de $g$ sur $R$. Il est atteint en $2$.



3. Sens de variations

Démonstration

Soit f une fonction polynôme du second degré 2 et sa forme canonique $f\left( x\right) =a\left( x-u\right) ^{2} +v$.

On établit le sens de variations de f sur $]-\infty \mathrm{;} u]$.

Soient deux nombres x₁ et x₂ tels que $x₁ < x₂$.

$x₁ < x₂ ≤ u$

⇔ $x₁-u < x₂-u ≤ {0}$

⇔ $\left( x₁-u\right) ^{2} >\left( x₂ -u\right) ^{2}$ (la fonction carré est décroissante sur R-)

Si $a > {0}$ :

⇔ $a\left( x₁ -u\right) ^{2} > \left( x₂ -u\right) ^{2} $

⇔ $a\left( x₁ -u\right) ^{2}+v > \left( x₂ -u\right) ^{2} +v$

⇔ $f\left( x₁\right) > f\left( x₂\right) $

Donc f est décroissante sur $]-\infty \mathrm{;} u]$.

Si $a < {0}$ :

⇔ $a\left( x₁ -u\right) ^{2} < \left( x₂ -u\right) ^{2} $

⇔ $a\left( x₁ -u\right) ^{2}+v < \left( x₂ -u\right) ^{2} +v$

⇔ $f\left( x₁\right) < f\left( x₂\right) $

Donc f est croissante sur $]-\infty \mathrm{;} u]$

On établit le sens de variations de f sur $[u \mathrm{;} +\infty [$.

Soient deux nombres x₁ et x₂ tels que $x₁ < x₂$.

$u ≤ x₁ < x₂$

⇔ ${0} ≤ x₁-u < x₂-u$

⇔ $\left( x₁-u\right) ^{2} <\left( x₂ -u\right) ^{2}$ (la fonction carré est décroissante sur R-)

Si $a > {0}$ :

⇔ $a\left( x₁ -u\right) ^{2} < \left( x₂ -u\right) ^{2} $

⇔ $a\left( x₁ -u\right) ^{2}+v < \left( x₂ -u\right) ^{2} +v$

⇔ $f\left( x₁\right) < f\left( x₂\right) $

Donc f est croissante sur $[u \mathrm{;} +\infty [$

Si $a < {0}$ :

⇔ $a\left( x₁ -u\right) ^{2} > \left( x₂ -u\right) ^{2} $

⇔ $a\left( x₁ -u\right) ^{2}+v > \left( x₂ -u\right) ^{2} +v$

⇔ $f\left( x₁\right) > f\left( x₂\right) $

Donc f est décroissante sur $[u \mathrm{;} +\infty [$


Théorème  :

Soit une fonction polynôme définie sur R par $f\left( x\right) =ax^{2}+bx+c$, et sa forme canonique $f\left( x\right) =a\left( x-u\right) ^{2}+v$.

Le tableau de variations de $f$ sur R est :

Si $a > {0}$ :

Si $a < {0}$ :




Courbe représentative

II – Courbe représentative dans un repère orthogonal

Théorème (admis) :

Soit f une fonction polynôme de degré 2 et sa forme canonique $f\left( x\right) =a\left( x-u\right) ^{2}+v$.

La courbe représentative de la fonction f dans un repère orthogonal est une parabole de sommet $\text{S}\left( u \mathrm{;} v\right) $.


Théorème (admis) :

Soit f une fonction polynôme de degré 2 et sa forme canonique $f\left( x\right) =a\left( x-u\right) ^{2}+v$.

La parabole représentative de f admet la droite d’équation $x =u$ comme axe de symétrie.


Exercice type :

Soit la fonction f définie sur [-5 ;3] par $f\left( x\right) =-{3}x^{2}+{6}x+{7}$.

a) Dresser le tableau de variations de f .

b) En déduire la forme canonique de f .


a) La fonction f est une fonction polynôme du second degré avec $a =-{3}$, $b ={6}$ et $c ={7}$.

Le coefficient $a =-{3}$ est négatif.

Donc f admet un maximum sur R.

On résout $f\left( x\right) ={7}$.

$f\left( x\right) ={7}$
$\Leftrightarrow -{3}x^{2}+{6}x+{7}={7} $
$\Leftrightarrow -{3}x^{2}+{6}x={0} $
$\Leftrightarrow x\left( -{3}x+{6}\right) ={0} $
$\Leftrightarrow x={0}\text{ ou }-{3}x+{6}={0} $
$\Leftrightarrow x={0}\text{ ou }x={2}$ $\text{S}= \left \{ {0} \mathrm{;} {2} \right \} $

On détermine l’axe de symétrie de Cf .

$\frac{{0}+{2}}{2}={1}$

La droite d’équation $x ={1}$ est l’axe de symétrie de Cf.

Le maximum de f sur R est atteint en 1.

On calcule $f\left( {1}\right) ={10}$.

On établit le tableau de variations de f .

$x$ – 5 1 3
$f\left( x\right) $ –98 10 –2

b) La forme canonique de f est : $f\left( x\right) =-{3}\left( x-{1}\right) ^{2}+{10}$.



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