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Probabilités - Mathématiques

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Probabilités

lundi 23 octobre 2017, par David Rodrigues

Probabilités

Probabilité

I – Probabilité d’un événement

1. Expérience aléatoire
Définition  :
On appelle expérience aléatoire une expérience qui réunit les caractéristiques suivantes :
- on connaît par avance l’ensemble des issues possibles
- on ne peut ni prévoir ni calculer son résultat


2. Univers d’une expérience aléatoire
Définition  :
On appelle univers d’une expérience aléatoire l’ensemble des issues possibles. On le note Ω.



3. Événement et probabilité
Définitions  :
Un événement est un sous-ensemble de l’univers Ω.
Un événement élémentaire est un événement réalisé par une seule issue de Ω.
L’événement impossible est un élément réalisé par aucune issue de Ω. On le note ∅.
L’événement certain est un élément réalisé par toutes les issues de Ω.



Définition  :
La probabilité d’un événement est la somme des probabilités des événements élémentaires qui le composent.



4. Loi de probabilité
Définition  :
Définir une loi de probabilité sur un univers, c’est attribuer à chaque événement élémentaire un nombre $p$ positif ou nul, appelé probabilité de l’événement élémentaire, de sorte que la somme des probabilités des événements élémentaires de l’univers est 1.



Théorème  :

La probabilité de l’événement certain est 1 : $p\left( \text{Ω}\right) ={1}$.
La probabilité de l’événement impossible est 0 : $ p\left( \emptyset\right) ={0}$.


Exercice type :

Indiquer un univers modélisant le lancer de deux dés cubiques et la loi de probabilités qui y est associée.



Les issues du lancer de chaque dé est : $\text{Ω}_{1}= \left \{ {1} \mathrm{;} {2} \mathrm{;} {3} \mathrm{;} {4} \mathrm{;} {5} \mathrm{;} {6} \right \} $ et $\text{Ω}_{2}= \left \{ {1} \mathrm{;} {2} \mathrm{;} {3} \mathrm{;} {4} \mathrm{;} {5} \mathrm{;} {6} \right \} $.

L’univers de l’expérience est composé de 36 issues : $\text{Ω}= \left \{ \left( {1} \mathrm{;} {1}\right) \mathrm{;} \left( {1} \mathrm{;} {2}\right) \mathrm{;} \left( {1} \mathrm{;} {3}\right) \mathrm{;} … \mathrm{;} \left( {6} \mathrm{;} {4}\right) \mathrm{;} \left( {6} \mathrm{;} {5}\right) \mathrm{;} \left( {6} \mathrm{;} {6}\right) \right \} $.

Chaque événement élémentaire est équiprobable : $ p\left( \text{e}\right) =\frac{1}{36}$.

Déterminer le type de chacun de ces événements.

P : la somme des résultats des dés est un nombre pair.

E : la somme des résultats des dés est un nombre entier.

D : la somme des résultats des dés est 12.

I : la somme des résultats des dés est 1.


P est un événement.

E est l’événement certain.

D est un événement élémentaire réalisé par (6 ;6).

I est l’événement impossible.

Loi de probabilités

II – Déterminer une loi de probabilité sur un univers

1. Situation d’équiprobabilité
Théorème  :
On considère une expérience aléatoire dont l’univers est constitué de n issues équiprobables.
La probabilité de chaque événement élémentaire est alors $\frac{1}{n}$.


Démonstration :

Par l’hypothèse d’équiprobabilité, les $n$ événements élémentaires ont la même probabilité $p$.
Par définition, la somme des probabilités de l’univers est 1. Donc $n \times p=1$.



Théorème  :
On considère une expérience aléatoire dont l’univers Ω est équiprobable.
La probabilité d’un événement A est : $ p\left( \text{A}\right) =\frac{{\text{nombre d'issues dans A}}}{\text{nombre d'issues dans Ω}}$.


Démonstration :

Par l’hypothèse d’équiprobabilité, les issues de $ \mathrm{%OMEGA}$ ont la même probabilité : $ p=\frac{1}{\text{nombre d'issues dans Ω}}$.

La probabilité de A est la somme des probabilités des événements élémentaires réalisant A, d’où la formule.


2. Modèle défini à partir de fréquences observées
Théorème (admis) :
On considère une expérience aléatoire que l’on répète $n$ fois de façon identique et indépendante. On observe la fréquence $f$ de réalisation d’un événement.
On admet que lorsque $n$ est suffisamment grand, $f$ tend à se stabiliser autour d’une valeur $p$.
On admet alors que $p$ est la probabilité de l’événement considéré


Opérations

III – Opérations sur les probabilités

1. Événement contraire
Définition  :

Soit un événement A d’un univers probabiliste Ω.

L’événement contraire de A est l’ensemble des issues de Ω qui ne réalisent pas A. On le note $\bar\text{A}$.


Théorème  :

Quelque soit l’événement A d’un univers Ω, on a : $p\left( \text{A}\right) +p\left( \bar{\text{A}}\right) ={1}$


2. Union et intersection
Définition  :

Soient deux événements A et B d’un univers Ω.

L’événement A∩B est composé des issues qui réalisent à la fois l’événement A et l’événement B.

L’événement A∪B est composé des issues qui réalisent au moins l’événement A ou l’événement B.



Théorème  :

Pour tous les événements A et B d’un univers Ω, on a :

$p\left( \text{A}∩\text{B}\right) +p\left( \text{A}∪\text{B}\right) =p\left( \text{A}\right) +p\left( \text{B}\right) $


Démonstration :

On note A₁=A∩B et $\text{A}_{2}= \overline{\text{A}\cap\text{B}}$.

Alors A∪B=B+A₂ . Or, A₂ =A-A₁=A-A∩B.

Donc A∪B=A+B-A∩B.


Remarque : il y a équivalence entre cette relation et la relation : $p\left( \text{A}∪\text{B}\right) =p\left( \text{A}\right) +p\left( \text{B}\right) -p\left( \text{A}∩\text{B}\right) $.


3. Événements incompatibles
Définition  :

Soient deux événements A et B d’un univers Ω.

On dit que A et B sont incompatibles si et seulement si A ∪ B = ∅.


Théorème  :

Pour tous les événement incompatibles A et B d’un univers Ω, on a :

$p\left( \text{A}∩\text{B}\right) ={0}$ et $p\left( \text{A} \cup \text{B}\right) =p\left( \text{A}\right) +p\left( \text{B}\right) $


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