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Fonctions homographiques - Mathématiques

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Fonctions homographiques

jeudi 9 novembre 2017, par David Rodrigues

Fonctions homographiques

Fonction inverse

I – Fonction inverse

1. Définition
Définition  :

On appelle fonction inverse la fonction définie sur $]-\infty ,{0}[\cup]{0} \mathrm{;} +\infty [$ par $f : x \rightarrow \frac{1}{x}$.



2. Sens de variations
Théorème  :

La fonction inverse est décroissante sur $]-\infty \mathrm{;} {0}[$ et décroissante sur $]{0} \mathrm{;} +\infty [$.

Le tableau de variations de la fonction inverse est :


Démonstration :

Sur $]-\infty \mathrm{;} {0}[$, on considère deux réels $a$ et $b$ tels que $f\left( a\right) $ et $f\left( b\right) $ en étudiant le signe de $f\left( a\right) -f\left( b\right) $.

$f\left( a\right) -f\left( b\right) =\frac{1}{a}-\frac{1}{b}=\frac{b-a}{ab}$.

Or $ab > {0}$ et $a < b \Leftrightarrow b-a > {0}$.

Donc $f\left( a\right) -f\left( b\right) > {0} \Leftrightarrow f\left( a\right) >f\left( b\right) $.

Alors la fonction inverse est décroissante sur $]-\infty \mathrm{;} {0}[$.

Sur $]{0,}+\infty [$, on considère deux réels $a$ et $b$ tels que ${0} < a < b$.

On compare $f\left( a\right) $ et $f\left( b\right) $.

$f\left( a\right) -f\left( b\right) =\frac{1}{a}-\frac{1}{b}=\frac{b-a}{ab}$.

Or $ab > {0}$ et $b-a > {0}$.

Donc $f\left( a\right) -f\left( b\right) > {0} \Leftrightarrow f\left( a\right) >f\left( b\right) $.

Alors la fonction inverse est décroissante sur $]{0,}+\infty [$.



3. Courbe représentative

3. Courbe représentative

Théorème (admis) :
La courbe représentative de la fonction inverse dans un repère orthogonal est l’hyperbole d’équation $y=\frac{1}{x}$.


Théorème :

L’hyperbole d’équation $y=\frac{1}{x}$ admet l’origine du repère comme centre de symétrie.


Démonstration :

Pour tout x réel, on a $\frac{1}{-x} =-{\frac{1}{x}}$ (fonction impaire).

Alors, si on considère les points $ \text{M} \left(x \mathrm{;} \frac{1}{x} \right) $ et $ \text{M}' \left(-x,-{\frac{1}{x}} \right)$ appartenant à l’hyperbole, le milieu de [MM’] est le point de coordonnées $\left( {0} \mathrm{;} {0}\right) $, donc l’origine du repère.


Fonctions homographiques

II – Fonctions homographiques

1. Définition
Définition  :

Soient 4 réels a, b, c et d tels que $c \neq {0}$ et $ad \neq bd$.

On appelle fonction homographique la fonction définie pour tout réel $x$ vérifiant $cx+d \neq {0}$ par $f\left( x\right) =\frac{ax+b}{cx+d}$.



2. Étudier le signe d’une fonction homographique


Exercice type  :

Soit la fonction $f$ définie par $f\left( x\right) ={2}-\frac{x}{{4}x+{5}}$.

Démontrer que $f$ est homographique et déterminer son ensemble de définition.

Étudier le signe de f sur son ensemble de définition.


On factorise : $f\left( x\right) =\frac{{2}\left( {4}x+{5}\right) -x}{{4}x+{5}} =\frac{{7}x+{10}}{{4}x+{5}}$.

La fonction $f$ est de la forme $\frac{ax+b}{cx+d}$ avec a=7, b=10, c=4 et d=5.

Donc $f$ est homographique.

Elle est définie pour tout réel vérifiant ${4}x+{5}<>{0}$, donc sur $\text{R}- \left \{ {-{\frac{5}{4}}} \right \} $.

On établit le tableau de signes :

|$x$|– ∞ ||$-{\frac{10}{7}}$||$-{\frac{5}{4}}$||+ ∞ |
|$\text{Signe de }7x+10$||–|0|+|||+|
|$\text{Signe de }4x+5$||–|$\vdots$|–|||+|
|$\text{Signe de }f\left( x\right) $||+|0|–|||+|



3. Étudier les variations d’une fonction homographique
Théorème  (admis) :

On considère une fonction homographique définie sur $ \text{R}- \left \{ -{\frac{d}{c}} \right \} $ par $f\left( x\right) =\frac{ax+b}{cx+d}$.

Il existe deux réels A et B tels que $ f\left( x\right) =\text{A}+\frac{\text{B}}{cx+d}$.

Cette écriture est appelée forme réduite de $f$.


Exercice type :

Soit la fonction $f$ définie par $f\left( x\right) =\frac{{2}x+{3}}{{5}-x}$.

Déterminer son ensemble de définition.

Déterminer sa forme réduite.

Étudier les variations de $f$.


La fonction $f$ est définie pour tout $x$ vérifiant ${5}-x \neq {0}$, donc sur $\text{R}- \left \{ {5} \right \} $.

On cherche les nombres A et B tels que $ f\left( x\right) =\text{A}+\frac{\text{B}}{{5}-x}$.

On factorise l’expression $ \text{A}+\frac{\text{B}}{{5}-x} =\frac{{5}\text{A}-\text{A}x+\text{B}}{{5}-x}$.

Alors, par identification, on veut $ \left \{ \matrix{{ {-\text{A}x} = {{2}x} } \, \cr \, { {{5}\text{A}+\text{B}} = \, {3} }} \right .$ $\Leftrightarrow$ $\left \{ \matrix{{ \text{A}=-{2}} \cr {\text{B}={13} }} \right .$.

Donc $f\left( x\right) =-{2}+\frac{13}{{5}-x}$.

On étudie les variations de $f$.

Soient deux réels $a$ et $b$ tels que ${5} < a < b$.

$a < b$ $\Leftrightarrow$ $-a > -b$ $\Leftrightarrow$ ${5}-a > {5}-b$ $\Leftrightarrow$ $\frac{13}{{5}-a} < \frac{13}{{5}-b}$ $\Leftrightarrow$ $-{2}+\frac{13}{{5}-a} < -{2}+\frac{13}{{5}-b}$ $\Leftrightarrow$ $f\left( a\right) < f\left( b\right) $.

Donc $f$ est croissante sur $]{5} \mathrm{;} +\infty [$.

De même, on montre que $f$ est croissante sur $]-\infty ,{5}[$.

D’où le tableau de variations :



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