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Second degré - Mathématiques

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Second degré

mardi 13 février 2018, par David Rodrigues

Second degré

Fonction polynôme

I – Fonction polynôme du second degré

1. Définition
Définition :

La fonction $ f $ définie sur $R$ est appelée fonction polynôme du second degré si et seulement s’il existe trois réels a, b et c (avec $a \neq{0}$) tels que, pour tout x réel $f \left( x\right) =ax^{2}+bx+c$.


Exercice type

Soit la fonction $f$ définie sur $[-{5} \mathrm{;} {3}]$ par $f\left( x\right) =\left( {2}x-{3}\right) \left( {4}+x\right) $.

a) Montrer que $f$ est une fonction polynôme du second degré.

b) Résoudre l’inéquation : $f\left( x\right) =-{12}$

c) Résoudre l’équation : $f\left( x\right) \ge {0}$


a) On développe :

$\begin{array}{r c l} f \left( x\right) &=&\left( {2}x-{3}\right) \left( {4}+x\right) \\ \ \ \ \ &=&{2}x^{2}+{5}x-{12} \end{array}$

Alors $f$ est de la forme $ax^{2}+bx+c$ avec $a=2$, $b=5$ et $c=-12$.

Donc $f$ est un polynôme du second degré.



b) On résout :

$\begin{array}{c r c l} &f\left( x\right) &=&-{12}\\ \Leftrightarrow & {2}x^{2}+{5}x-{12} &=& -{12}\\ \Leftrightarrow & {2}x^{2}+{5}x &=& {0} \\ \Leftrightarrow & x\left( {2}x+{5}\right) &=& {0} \\ \Leftrightarrow & x={0} &\text{ ou } & {2}x+{5} = {0} \\ \Leftrightarrow & x = {0} &\text{ ou } & x = -\frac{5}{2} \end{array}$
$ \text{S}= \left \{ -\frac{5}{2} \mathrm{;} {0} \right \} $


c) On résout :
${2}x-{3}={0} \Leftrightarrow x=\frac{3}{2}$ et ${4}+x={0} \Leftrightarrow x=-{4}$

On établit le tableau de signes :

$x$ -5 -4 1,5 3
Signe de ${2}x-{3}$ $\vdots$ 0 +
Signe de ${4}+x$ 0 + $\vdots$ +
Signe du produit + 0 0 +

$\text{S}=[-{5} \mathrm{;} {4}]\cup[{1,5} \mathrm{;} {3}]$



2. Forme canonique
Théorème  :

Quelle que soit la fonction polynôme $f \left( x\right) =ax^{2}+bx+c$, il existe des réels α et β tels que $f \left( x\right) =a\left( x-\alpha\right) ^{2}+\beta$.

Cette écriture de la fonction est appelée forme canonique.

On a : $\alpha =-{\frac{b}{{2}a}}$ et $\beta =f\left( \alpha\right) =\frac{b^{2}-{4}ac}{{4}a}$


Démonstration :

On factorise partiellement :

$\begin{array}{r c l} ax^{2}+bx+c &=& a \left(x^{2}+{\frac{b}{a}}x \right)+c\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ &=& a \left[ \left(x+\frac{b}{2a} \right)^{2}-\frac{b^{2}}{4a^{2}} \right]+c \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ &=& a \left(x+\frac{b}{{2}a} \right)^{2}-\frac{b^{2}}{{4}a}+c \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ &=& a \left(x+\frac{b}{{2}a} \right)^{2}-\frac{b^{2}-{4}ac}{{4}a}\end{array}$



On a $ \text{α}=-{\frac{b}{{2}a}}$ et $ \text{β}=-{\frac{b^{2}-{4}ac}{{4}a}} $


Exercice type :

Soit la fonction g définie sur $R$ par $g\left( x\right) ={2}x^{2}-{8}x+{3}$

a) Donner la forme canonique de $g$.

b) Démontrer que $g$ admet un minimum sur $R$.


a) On cherche les nombres $α$ et $β$ tels que $g \left( x\right) ={2}\left( x-\alpha\right) ^{2}+\beta$

On calcule : $\alpha=-{\frac{b}{{2}a}}=\frac{8}{4}={2}$ et $\beta=\frac{{4}ac-b^{2}}{{4}a}=-{\frac{40}{8}}=-{5}$.

La forme canonique est : $g \left( x\right) ={2}\left( x-{2}\right) ^{2}-{5}$.



b) On conjecture que le minimum de $g$ sur $R$ est $-5$.

On résout : $g\left( x\right) =-{5}$.

$S=\{ 2 \}$


On démontre que, pour tout $x$ réel, $g(x) \ge -5$.

On sait que, pour tout $x$ réel :

$\begin{array}{c r c l} &\left( x-{2}\right) ^{2} &\geq& {0}\\ \Leftrightarrow & {2}\left( x-{2}\right) ^{2} &\geq& {0} \\ \Leftrightarrow & {2}\left( x-{2}\right) ^{2}-{5} &\geq &-{5}\\ \Leftrightarrow & g\left( x\right) & \geq &-{5} \end{array}$

Donc, pour tout $x$ réel, $g\left( x\right) \geq -{5}$


Puisque $-5$ est la plus petite image atteinte par $g$, $-5$ est le minimum de $g$ sur $R$. Il est atteint en $2$.



3. Variations d’une fonction polynôme du second degré
Théorème  :

Soit f une fonction polynôme de degré 2 définie sur $R$ par $f\left( x\right) =ax^{2}+bx+c$ et sa forme canonique $f\left( x\right) =a\left( x-\alpha\right) ^{2}+\beta$.

Le tableau de variations de $f$ sur $R$ est :

Si a>0 :

JPEG - 12.1 ko
Variations a+

Si a<0 :

JPEG - 12.2 ko
Variations a-


Démonstration :

Voir corrigé du DM1.



4. Courbe représentative d’une fonction polynôme du second degré
Théorème (admis) :

Soit f une fonction polynôme de degré 2 et sa forme canonique $f\left( x\right) =a\left( x-\alpha\right) ^{2}+\beta$.

La courbe représentative de la fonction f dans un repère orthogonal est une parabole de sommet $\text{S}\left( \alpha \mathrm{;} \beta\right) $.


Théorème :

Soit f une fonction polynôme de degré 2 et sa forme canonique $f\left( x\right) ={a}\left( x-\alpha\right) ^{2}+\beta$.

La parabole représentative de f admet la droite d’équation $x=\alpha$ comme axe de symétrie.


Démonstration :

On considère un réel $x$ et les deux réels $x_1$ et $x_2$ définis par $x_{1} =\alpha+x$ et $x_{2} =\alpha-x$.

$f\left( x_{1}\right) =a\left( [\alpha+x]-\alpha\right) ^{2}+\beta =ax^{2}+\beta$ et $f\left( x_{2}\right) =a\left( [\alpha-x]-\alpha\right) ^{2}+\beta =ax^{2}+\beta$.

Donc $f\left( x_{1}\right) =f\left( x_{2}\right) =u$

Dans le plan muni d’un repère orthogonal, on considère $\text{M}_{1}\left( x₁ \mathrm{;} u\right) $ et $\text{M}_{2}\left( x₂ \mathrm{;u}\right) $.

Le milieu de [M₁ M₂] est le point $\text{M}\left( \text{α} \mathrm{;} u\right) $.

De plus, les points M, M₁ et M₂ appartiennent à la droite d’équation $y=f\left( x_{1}\right) $, perpendiculaire à l’axe des ordonnées.

Donc la droite d’équation $x=\text{α}$ est perpendiculaire à [M₁ M₂] par son milieu M. D’où la symétrie axiale.


Exercice type :

Soit la fonction $f $ définie sur $\text{R}$ par $f\left( x\right) ={3}x^{2}-{2}x+{1}$.

Déterminer la forme canonique de f.


La forme canonique de f est de la forme $a\left( x-\alpha\right) ^{2}+\beta$ où $a={3}$.

On résout l’équation $f \left( x\right) =f\left( {0}\right) $.

$\begin{array}{c r c l} & {3}x^{2}-{2}x+{1} &=& {1} \\ \Leftrightarrow & {3}x^{2}-{2}x &=&{0} \\ \Leftrightarrow & x\left( {3}x-{2}\right) &=&{0} \\ \Leftrightarrow & x={0}&\text{ ou }&x=\frac{2}{3} \end{array}$.
Les solutions sont $ \text{S}= \left \{ {0} \mathrm{;} \frac{2}{3} \right \} $.

Par symétrie, on en déduit : $\alpha=\frac{{0}+{\frac{2}{3}}}{2}=\frac{1}{3}$.

On calcule $\beta=f\left( \alpha\right) =f \left(\frac{1}{3} \right)=\frac{2}{3}$,

Alors la forme canonique de f est $f \left( x\right) ={3} \left(x-{\frac{1}{3}} \right)^{2}+\frac{2}{3}$.


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