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Probabilités - Mathématiques

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Probabilités

lundi 14 mai 2018, par David Rodrigues

Probabilités

Variable aléatoire discrète

I – Variable aléatoire discrète

1. Définition
Définition  :

Soit un univers probabiliste $\Omega$ et sa loi de probabilités.

On appelle variable aléatoire une fonction définie sur $ \Omega$ à valeurs dans R.


2. Loi de probabilités
Définition  :

Définir la loi de probabilités d’une variable aléatoire $X$, c’est associer à chaque valeur $x_\text{i}$ de $X$ un nombre positif $p_\text{i}$, tel que la somme des $p_\text{i}$ est égale à 1.



Remarques  : on note $p_\text{i} =\text{P}\left( \text{X}=x_\text{i}\right) $.

On présente généralement la loi de probabilités d’une variable aléatoire dans un tableau.

3. Espérance d’une variable aléatoire
Définition :

L’espérance d’une variable aléatoire est la moyenne des valeurs $x_\text{i}$, pondérées par leur probabilité $p_\text{i}$.

$\text{E}\left( \text{X}\right) =x_1 p_{1}+x_2 p_{2}+ cdot +x_n p_n$


Remarque  : L’espérance de la variable est la valeur moyenne que l’on peut obtenir après un grand nombre de répétitions de l’expérience aléatoire.


4. Loi binomiale
Définitions :

Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire pour laquelle on considère deux événements contraires, appelés succès et échec. On note $p$ la probabilité du succès et ${1}-p$ la probabilité de l’échec.

Un schéma de Bernoulli est constitué de $n$ répétitions identiques et indépendantes d’une épreuve de Bernoulli.

La variable aléatoire $X$ associée au nombre de succès dans un schéma de Bernoulli suit la loi binomiale de paramètres $n$ et $p$, qu’on note $\text{B}\left( n;p\right) $.


Propriété (démontrée en 1e) :

Soit une variable aléatoire $X$ de loi $\text{B}\left( n \mathrm{;} p\right) $.

La probabilité d’obtenir $k$ succès en $n$ répétitions de l’épreuve est $\text{P}\left( \text{X}=k\right) =\left( \matrix{n \cr k}\right) p^k \left( {1}-p\right) ^{n-k}$.


Propriété (admise) :

Soit une variable aléatoire X de loi $\text{B}\left( n \mathrm{;} p\right) $.

L’espérance de X est $\text{E}\left( \text{X}\right) =np$


Exercice type

Dans un magasin d’informatique, le nombre moyen de clients est de 2500 par mois. Un client sur 3 achète un ordinateur ; les autres achètent une tablette.

En une heure, on a observé les achats de 10 clients. Quelle est la probabilité d’avoir vendu 4 ordinateurs ?

Sachant que le prix moyen d’un ordinateur est 550€ et celui d’une tablette est 350€, quel est le chiffre d’affaire mensuel de ce magasin ?


On note $p$ la probabilité qu’un client achète un ordinateur et ${1}-p$ la probabilité qu’il achète une tablette.

On note $\text{X}$ la variable aléatoire associée au nombre d’ordinateurs vendus. Considérant que les achats de chaque client sont indépendants les un des autres, $\text{X}$ suit une loi binomiale $ \text{B} \left({10} \mathrm{;} \frac{1}{3} \right)$.

Alors $ \text{P}\left( \text{X}={4}\right) =\left( \matrix{{10} \cr {4}}\right) \left(\frac{1}{3} \right)^{4} \times \left(\frac{2}{3} \right)^{6}={0,2276}$. La probabilité de vendre 4 ordinateurs est 22,76 %.

On note $\text{G}$ la variable aléatoire associée au montant de chaque vente.

La loi de probabilités de G est $ \text{P}\left( \text{G}={350}\right) =\frac{2}{3}$ $ \text{P}\left( \text{G}={550}\right) =\frac{1}{3}$. Alors l’espérance de G est $ \text{E}\left( \text{G}\right) ={\frac{2}{3}} \times {350}+{\frac{1}{3}} \times {550}=\frac{1250}{3}$.

Pour une fréquentation de 2500 clients, le chiffre d’affaires espéré est ${2500} \text{E}\left( \text{G}\right) ={1041666,67} €$


Probabilités totales et conditionnelles

II – Probabilité totale et probabilité conditionnelle

1. Probabilité totale
Définition  :

Soit un univers probabiliste $ \Omega$ et sa loi de probabilités.

On considère un événement A et son contraire $\bar{\text{A}}$. Puisque $\text{A}+\bar{\text{A}}= \Omega$, on dit que $\text{A}$ et $\bar{\text{A}}$ réalisent une partition de $ \Omega$.


Formule des probabilités totales :

Soit un univers $\Omega$ partitionné en événements incompatibles $ \left \{ \text{A}_{1} \mathrm{;} \text{A}_{2} \mathrm{;} \text{A}_{3} \mathrm{;} …  \mathrm{;} \text{A}_n \right \} $.

Pour tout événement B de $ \Omega$, $\text{P}\left( \text{B}\right) =\text{P}\left( \text{A}_{1} \cap \text{B}\right) +\text{P}\left( \text{A}_{2} \cap \text{B}\right) +\text{P}\left( \text{A}_{3} \cap \text{B}\right) \ldots+\text{P}\left( \text{A}_n \cap \text{B}\right) $



Démonstration :

Sur un diagramme de Venn



2. Probabilité conditionnelle
Définition  :

Soit un univers probabiliste $\Omega$ et sa loi de probabilités.

On considère un événement non vide A.

Pour tout événement B de $ \Omega$, la probabilité de B sachant que A est réalisé est un sous ensemble de A.


Propriété  :

Pour tout événement non vide A et pour tout événement B d’un univers,

$ \text{P}_\text{A}\left( \text{B}\right) =\frac{\text{P}\left( \text{A} \cap \text{B}\right) }{\text{P}\left( \text{A}\right) }$


Démonstration :

La probabilité conditionnelle correspond à une restriction de l’univers. On peut la mettre en équation en inversant l’arbre de probabilités.


Exercice type

Un tiers des mails que reçoit John sont des mails publicitaires.

Parmi les mails publicitaires, 10 % intéressent John.

Parmi tous ses mails, 5 % sont des mails non publicitaires qui ne l’intéressent pas.

John reçoit un mail non publicitaire. Calculer la probabilité que ce mail l’intéresse.


Soit I l’événement « le mail intéresse John » et S l’événement « le mail est publicitaire ».

On sait que $ \text{P}\left( \bar{\text{S}}\right) ={1}-p\left( \text{S}\right) =\frac{2}{3}$ et que $\text{P}\left( \bar{\text{S}} \cap \bar{\text{I}}\right) ={0,05}$.

Alors $ \text{P}_\bar{\text{S}}\left( \bar{\text{I}}\right) ={\frac{0,05}{\frac{2}{3}}}={0,075}$. Donc $\text{P}_\bar{\text{S}}\left( \text{I}\right) ={1}-{0,075}={0,925}$.

La probabilité que John soit intéressé par un mail non publicitaire est 92,5 %.



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