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Exponentielles - Mathématiques

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Exponentielles

lundi 21 mai 2018, par David Rodrigues

Exponentielle de base q

I – Fonction exponentielle de base q

1. Définition
Définition  :

Soit q un nombre réel positif.

On appelle fonction exponentielle de base $q$ la fonction définie sur $\R$ par $f\left( x\right) =q^x$



Remarque : Une fonction exponentielle de base $q$ est donc l’extension sur $\R$ d’une suite géométrique de raison $q$.


2. Continuité et variations


Propriété (admise) :

Toute fonction exponentielle de base $q$ est dérivable et donc continue sur $\R$.


Propriétés  :

Une fonction exponentielle de base $q$ est strictement croissante sur $\R$ ssi $q > {1}$.

Une fonction exponentielle de base q est strictement décroissante sur $\R$ ssi $0 < q < {1}$.

Une fonction exponentielle de base q est constante sur $\R$ ssi $q={1}$.


Démonstration :

Voir le sens de variation d’une suite géométrique.


3. Relation fonctionnelle
Propriétés  :

Les fonctions exponentielles transforment les sommes en produit.

Pour tous réels $a$ et $b$, $f\left( a+b\right) =f\left( a\right) \times f\left( b\right) $


Démonstration :

Héritage des propriétés sur les puissances.


Exponentielle de base e

II – Fonction exponentielle de base e

1. Définition
Définition  :

On appelle fonction exponentielle de base e, notée exp , l’unique fonction exponentielle dont le nombre dérivé en 0 est 1.

Par définition, on note $\text{e}$ l’image de 1 par la fonction exp  : $\exp\left( {1}\right) =\text{e}$.


Remarque : On note, par convention, $\exp\left( x\right) =\text{e}^x$


Corollaires :

La fonction exp est strictement croissante sur R.

Pour tout $x$ réel, $\exp\left( x\right) >{0}$


Démonstration :

$\text{e}>{1}$, d’où le sens de variations.

$\text{e}>{0}$, d’où le signe.


Propriété (admise) :

La fonction exp est sa propre dérivée : $\left( \text{e}^x\right) '=\text{e}^x$


Corollaire  :

La fonction exp est convexe sur R.


Démonstration :

Si $f\left( x\right) =\text{e}^x$, $f'\left( x\right) =\text{e}^x$ et donc $f''\left( x\right) =\text{e}^x$.

Alors $f''\left( x\right) $ est positive sur R. D’où la convexité.



2. Propriété fonctionnelle
Propriété de morphisme  :

Pour tout $a$ et $b$ réels,

$\text{e}^{0}={1}$

$\text{e}^{a+b}=\text{e}^a \times \text{e}^b$

$ \text{e}^{-a}=\frac{1}{\text{e}^a}$

$\text{e}^{a \times b}=\left( \text{e}^a\right) ^b$


Démonstration :

Héritées des fonctions exponentielles et des notations puissance.



3. Bijection
Propriété  :

La fonction exp réalise une bijection de R sur R+.

Pour tout nombre réel positif $k$, l’équation $f\left( x\right) =k$ admet une solution unique.

Pour tous réels A et B, $\text{e}^\text{A}=\text{e}^\text{B}$ ⇔ $\text{A}=\text{B}$.


Démonstration :

exp est strictement croissante sur R et $\text{e}^x>{0}$.


Exercice type

Démontrer que ${2}\text{e}^{{2}x}-\text{e}^x-{1}=\left( \text{e}^x-{1}\right) \left( {2}\text{e}^x+{1}\right) $. En déduire les solutions dans R de : ${2}\text{e}^{{2}x}-\text{e}^x-{1}=0$



On développe : $\left( \text{e}^x-{1}\right) \left( {2}\text{e}^x+{1}\right) =2\text{e}^{2x}-{2}\text{e}^x+\text{e}^x-{1}={2}\text{e}^{{2}x}-\text{e}^x-{1}$.

Alors ${2}\text{e}^{{2}x}-\text{e}^x-{1}=0$ ⇔ $\left( \text{e}^x-{1}\right) \left( {2}\text{e}^x+{1}\right) =0$ ⇔ $\text{e}^x-{1}=0$ ou ${2}\text{e}^x+{1}=0$ ⇔ $\text{e}^x={1}$ ou $ \text{e}^x=-{\frac{1}{2}}$. Donc $\text{S}= \left \{ {0} \right \} $.



Propriété  :

Pour tous réels A et B, $\text{e}^\text{A}\leq\text{e}^\text{B}$ ⇔ $\text{A}\leq\text{B}$.


Démonstration :

exp est strictement croissante sur R.


Exponentielle de fonction

III – Exponentielle de fonction

1. Définition
Définition :

Soit $u\left( x\right) $ une fonction à valeurs dans R.

On appelle fonction exponentielle de la fonction u, notée $\text{e}^u$, la fonction définie sur $\text{D}_u$ par $f\left( x\right) = \text{exp} \left( u\left( x\right) \right) $


Corollaire :

Pour toute fonction $u\left( x\right) $ et pour tout $x$ de $\text{D}_u$, $\exp\left( u\left( x\right) \right) >{0}$.


2. Étude de fonction
Propriété (admise) :

Soit la fonction $f\left( x\right) =\text{e}^{u\left( x\right) }$

Sa dérivée est $f'\left( x\right) =u'\left( x\right) \times \text{e}^{u\left( x\right) }$


Corollaire :

Pour toute fonction $u\left( x\right) $ et pour tout $x$ réel, le sens de variations de $\exp\left( u\left( x\right) \right) $ est celui de $u\left( x\right) $.


Démonstration :

Puisque $\text{e}^{u\left( x\right) } >{0}$, $f'\left( x\right) $ est du signe de $u'\left( x\right) $.



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