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Intégration - Mathématiques

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Intégration

lundi 11 juin 2018, par David Rodrigues

Intégration

Intégrale d’une fonction

I – Intégrale d’une fonction

1. Définition
Définition  :

Soit $f$ une fonction continue et positive sur un intervalle $[a \mathrm{;} b]$ et $\text{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal.

On appelle aire sous la courbe, l’aire du domaine délimité par l’axe des abscisses, la courbe $\text{C}_f$, et les droites d’équations $x=a$ et $x=b{}$.

Cette aire est exprimée en unité graphique d’aire.

L’intégrale de $f$ sur $[a \mathrm{;} b]$, notée $\int_{a}^{b}f\left( x\right) dx$, est l’aire sous la courbe $\text{C}_f$ sur l’intervalle $[a \mathrm{;} b]$.


Exemples  :

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Intégrale d’une fonction



2. Propriétés de l’intégrale
Relation de Chasles :

On considère une fonction $f$ continue et positive sur un intervalle $[a \mathrm{;} b]$.

Pour tout réel $c$ de $[a \mathrm{;} b]$, on a $\int_{a}^{c}f\left( x\right) dx+\int_{c}^{b}f\left( x\right) dx=\int_{a}^{b}f\left( x\right) dx$.


Conservation de l’ordre :

On considère deux fonctions $f$ et $g$ continues et positives sur un intervalle $[a \mathrm{;} b]$.

Si, pour tout réel $x$ de $[a \mathrm{;} b]$, on a $f\left( x\right) >g\left( x\right) $, alors $\int_{a}^{b}f\left( x\right) dx>\int_{a}^{b}g\left( x\right) dx$.


Démonstration :

Découlent des propriétés géométriques des aires.


Primitives

II – Primitives et intégrales

1. Fonction intégrale indéfinie
Définition  :

Soit une fonction $f$ continue et positive sur un intervalle $[a \mathrm{;} b]$.

On appelle fonction intégrale indéfinie de $f$ toute fonction définie sur $[a \mathrm{;} b]$ par $\text{g}\left( x\right) =\int_{a}^{x}f\left( t\right) dt +k$ où $k \in \text{R}$



2. Primitives d’une fonction
Définition  :

Soit une fonction $f$ continue et positive sur un intervalle $[a \mathrm{;} b]$.

On appelle fonction primitive de $f$, notée F , toute fonction vérifiant $\text{F}'\left( x\right) =f\left( x\right) $


Corollaire  :

$\text{F}$ est croissante sur $[a \mathrm{;} b]$.

Toutes les primitives d’une même fonction $f$ sont égales à une constante près.


Propriété (admise) :

A une constante près, fonction intégrale indéfinie de $f$ et fonction primitive de $f$ sont égales.



Théorème (admis) :

Toute fonction continue sur un intervalle $[a \mathrm{;} b]$ admet des primitives sur $[a \mathrm{;} b]$.


Démonstration :

Héritées des fonctions exponentielles et des notations puissance.




3. Calculer une intégrale
Propriété  :

Soit une fonction $f$ continue et positive sur $[a \mathrm{;} b]$.

Quelle que soit la primitive $\text{F}$ de $f$, on a : $\int_{a}^{b}f\left( x\right) dx=\text{F}\left( b\right) -\text{F}\left( a\right) $.


Démonstration :

F est l’intégrale indéfinie à une constante près + relation de Chasles


Exercice type

Calculer $\int_{2}^{9}{2}x^{2}-x+{3} dx$


On détermine une primitive de $f\left( x\right) ={2}x^{2}-x+{3}$ : $F\left( x\right) =\frac{2}{3} x^{3}-\frac{1}{2} x^{2}+{3}x$.

On calcule $ \int_{2}^{9}f\left( x\right) dx=\text{F}\left( {9}\right) -\text{F}\left( {2}\right) =\frac{945}{2}-\frac{28}{3}=\frac{2779}{6}$.


Valeur moyenne

III – Valeur moyenne

Définition  :

Soit une fonction $f$ positive et continue sur un intervalle $[a \mathrm{;} b]$.

On appelle valeur moyenne de f sur $[a \mathrm{;} b]$ le nombre positif $\frac{1}{b-a}{\int_{a}^{b}f\left( x\right) dx}$.


Exercice type

Le bénéfice en milliers d’euros d’une entreprise en fonction de la quantité q de centaines d’unités produites est donné par la fonction $\text{b}\left( q\right) =x^{2}-{3}x+{3}$. Calculer le bénéfice moyen l’entreprise produit entre 200 et 300 unités.


On détermine une primitive $ \text{B}\left( q\right) =\frac{1}{3} x^{3} -{\frac{3}{2}} x^{2}+{3}x$.

On calcule $ \frac{1}{{3}-{2}}\int_{2}^{3}b\left( q\right) dq=\text{B}\left( {3}\right) -\text{B}\left( {2}\right) =\frac{9}{2}-\frac{8}{3}=\frac{11}{6}$.

Le bénéfice moyen est de 1833 euros.



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