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Suites numériques - Mathématiques

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Suites numériques

lundi 30 avril 2018, par David Rodrigues

Suites numériques

Suite numérique

I – Suite numérique

1. Définition
Définition  :

On appelle suite numérique une fonction définie sur ℕ, à valeurs dans ℝ.

A tout entier naturel n , une suite numérique $\left( u\right) $ associe une unique image réelle, notée $u\left( n\right) $ ou $u_n$.


Exercice type

On considère la suite numérique ( u ) définie par u(n)=2n+3.

Déterminer les images de 5, 12 et 19 par la suite (u).


On calcule $u\left( {5}\right) ={2} \times {5}+{3}={13}$ .

On calcule $u\left( {12}\right) ={2} \times {12}+{3}={27}$ .

On calcule $u\left( {19}\right) ={2} \times {19}+{3}={41}$ .


Définition  :

Soit une suite $\left( u\right) $ un entier p et un réel y .

Si $u\left( p\right) =y$, on dit que y est le terme de rang p de $\left( u\right) $.



2. Relation de récurrence

Exercice type

On considère la suite numérique ( w ) définie par $\left \{ \matrix{ w\left( n+{1}\right) =w\left( n\right) -{1} \cr w\left( {0}\right) ={10} } \right .$

Déterminer le 5 e terme de cette suite.


Pour calculer un terme, il faut connaître le précédent.

On calcule $w\left( {1}\right) =w\left( {0}\right) -{1}={10}-{1}={9}$

On calcule $w\left( {2}\right) =w\left( {1}\right) -{1}={9}-{1}={8}$

On calcule $w\left( {3}\right) =w\left( {2}\right) -{1}={8}-{1}={7}$

On calcule $w\left( {4}\right) =w\left( {3}\right) -{1}={7}-{1}={6}$


Variations

II – Variations et limite

1. Définition
Définitions  :

On dit qu’une suite est strictement croissante sur N si, pour tout n , on a $u\left( n+{1}\right) >u\left( n\right) $.

On dit qu’une suite est strictement décroissante sur N si, pour tout n , on a $u\left( n+{1}\right)

On dit qu’une suite est constante sur N si, pour tout n , on a $u\left( n+{1}\right) =u\left( n\right) $.


Exercice type

Soit la suite $\left( u\right) $ définie par $u\left( n\right) ={3}n-{2}$ et la suite $\left( v\right) $ définie par $v\left( n\right) =\frac{1}{n+{2}}$ .

Déterminer le sens de variations de $\left( u\right) $ et de $\left( v\right) $ .


On exprime u(n+1)-u(n)

$u\left( n+{1}\right) -u\left( n\right) =[{3}\left( n+{1}\right) -{2}]-[{3}n-{2}]={3}n+{3}-{2}-{3}n+{2}={3}$

Alors, pour tout n, $u\left( n+{1}\right) -u\left( n\right) >{0}$ , donc $u\left( n+{1}\right) >u\left( n\right) $ .

La suite (u) est strictement croissante sur N.


On exprime $\frac{v\left( n+{1}\right) }{v\left( n\right) }$

$\frac{v\left( n+{1}\right) }{v\left( n\right) }=\frac{\frac{1}{\left( n+{1}\right) +{2}}}{\frac{1}{n+{2}}} ={\frac{n+{2}}{n+{3}}}$

Alors, pour tout n, $\frac{v\left( n+{1}\right) }{v\left( n\right) }<{1}$ , donc $v\left( n+{1}\right) .

La suite ( v ) est strictement croissante sur N.


Théorème  :

Soit une fonction $f$ et une suite $\left( u\right) $ définie sur R par $u\left( n\right) =f\left( n\right) $.

Le sens de variation de $\left( u\right) $



2. Limite d’une suite
Définition empirique :

Une suite $\left( u\right) $ admet une limite réelle $l$ si, à partir d’un certain rang, tous les termes de la suite $\left( u\right) $ sont proches de $l$ et s’en rapprochent.

On dit que la suite $\left( u\right) $ converge en $l$, ou que la suite est convergente.

Toute suite qui ne converge pas est divergente.


Définition formelle :

Une suite $\left( u\right) $ tend vers un réel $l$ signifie : pour tout nombre positif $\epsilon$, il existe un rang $k$ à partir duquel, si $n>k$, alors $u\left( n\right) \in [l-\epsilon;l+\epsilon]$.


Exercice type

Soit la suite $\left( u\right) $ définie par $u\left( n\right) ={20}-3 \times {0,8}^n$ . Déterminer si $\left( u\right) $ converge et sa limite éventuelle.


Le calcul des termes permet de conjecturer que $\left( u\right) $ converge vers 20.


Suites arithmétiques et géométriques

III – Suites arithmétiques et géométriques

1. Suite arithmétique
Définition  :

On appelle suite arithmétique une suite dont la relation de récurrence est du type $u\left( n+{1}\right) =u\left( n\right) +r$, où r est un réel.

Le réel r est appelé raison de la suite.


Propriété (admise) :

Soit $\left( u\right) $ une suite arithmétique de raison r .

On a pour tous entiers $m$ et $n$ : $u\left( n\right) =u\left( m\right) +\left( n-m\right) r$.

Notamment : $u\left( n\right) =u\left( {0}\right) +nr$.


Exercice type

On considère la suite numérique $u\left( n\right) =\frac{n^{2}-n-{2}}{n+{1}}$.

Démontrer que $\left( u\right) $ est arithmétique.



$\left( u\right) $ est arithmétique si $u\left( n+{1}\right) -u\left( n\right) =r$.

On exprime $u\left( n+1\right) =\frac{\left( n+{1}\right) ^{2}-\left( n+{1}\right) -{2}}{n+{1}+{1}} =\frac{n^{2}+n-2}{n+{2}}$.

Alors $u\left( n+{1}\right) -u\left( n\right) =\frac{n^{2}+n-{2}}{n+{2}}-\frac{n^{2}-n-{2}}{n+{1}} ={1}$.

Donc $\left( u\right) $est une suite arithmétique de raison 1.

On calcule $u\left( {0}\right) =-{2}$.

Le terme général de $\left( u\right) $ est $u\left( n\right) =n-{2}$.


Autre méthode :

On factorise $n^{2}-n-{2} =\left( n-{2}\right) \left( n+{1}\right) $.

Alors $u\left( n\right) =\frac{\left( n-{2}\right) \left( n+{1}\right) }{n+{1}} =n-{2}$.

Donc $\left( u\right) $ est arithmétique de raison 1 et de premier terme -2.



Propriété :

Soit $\left( u\right) $ une suite arithmétique de raison r .

La suite $\left( u\right) $ est croissante si et seulement si $r > {0}$.

La suite $\left( u\right) $ est décroissante si et seulement si $r < {0}$.

La suite $\left( u\right) $ est constante si et seulement si $r ={0}$.

Démonstration :

Sens de variation d’une fonction affine.


2. Somme des termes successifs d’une suite arithmétique
Théorème  :

On considère la suite des n premiers entiers naturels non nuls.

La somme des termes de cette suite est : $ \text{S}_1 =\frac{n\left( n+{1}\right) }{2} $.


Démonstration :

Double somme de la suite (ordre croissant + ordre décroissant). On obtient $n$ termes égaux à $n+{1}$.


Théorème  :

Soit une suite arithmétique $\left( u\right) $.

La somme de termes consécutifs de cette suite est : $ \text{S}_u= {\text{nombre de termes}} \times {\frac{\text{premier terme} + \text{dernier terme}}{2}}$.

Notamment : $\sum_{0}^{n }\left( u\right) =\left( n+{1}\right) {\frac{u_{0}+u_n}{2}}$.


Démonstration :

Double somme de la suite (ordre croissant + ordre décroissant). On obtient $q+{1}$ termes égaux à ${2}u_{0}+qr =u_{0}+u_q$.



3. Suite géométrique
Définition  :

On appelle suite géométrique une suite dont la relation de récurrence est du type $u\left( n+{1}\right) =u\left( n\right) \times q$, où q est un réel.

Le réel q est appelé raison de la suite.


Propriété (admise) :

Soit $\left( u\right) $ une suite géométrique de raison q non nulle.

On a, pour tous entiers $m$ et $n$ : $u\left( n\right) =u\left( m\right) \times q^{n-m}$.

Notamment : $u\left( n\right) =u\left( {0}\right) \times q^n$.


Exercice type

On considère la suite numérique $\left( u\right) $ définie par $u\left( {0}\right) ={8}$ et $u\left( n+{1}\right) ={3}u\left( n\right) $.

Démontrer que $\left( u\right) $ est géométrique, puis calculer $u\left( {42}\right) $.


$\left( u\right) $ est géométrique si $\frac{u\left( n+{1}\right) }{u\left( n\right) }=q$.

On exprime $\frac{u\left( n+{1}\right) }{u\left( n\right) }={3}$.

Donc $\left( u\right) $ est géométrique de raison 3 et de premier terme 8.

Alors le terme général est : $u\left( n\right) ={8} \times {3}^n$.

On calcule $u\left( {42}\right) ={8} \times {3}^{42}$.



Propriété  :

Soit $\left( u\right) $ une suite géométrique de premier terme positif et de raison q .

La suite $\left( u\right) $ est croissante si et seulement si $q > {1}$.

La suite $\left( u\right) $ est décroissante si et seulement si ${0} < q < {1}$.


Démonstration :

Si $q > {1}$, alors pour tout entier naturel $n$, $q^n > q$, d’où la croissance.

Si ${0} < q < {1}$, alors pour tout entier naturel n, $q^n < q$, d’où la décroissance.

Si $q < {0}$, alors $q^n$ change de signe à chaque rang. La suite n’est alors ni croissante, ni décroissante.

Si le premier terme est négatif, alors le sens de variation est inversé.

4. Somme des termes successifs d’une suite géométrique
Théorème  :

On considère la suite $v_n =q^n$ où $q<>{1}$.

La somme de ses $n +{1}$ premiers termes est : $ \text{S}_2 =\frac{{1}-q^{n+{1}}}{{1}-q}$.


Démonstration :

On multiplie $\text{S}_3$ par ${1}-q$ et on développe. En réduisant, on obtient : $\left( {1}-q\right) \text{S}_3 ={1}-q^{n+{1}}$.


Théorème  :

Soit une suite géométrique $\left( v\right) $ avec $q<>{1}$.

La somme de termes consécutifs de cette suite est : $ \text{S}_v= {\text{premier terme}} \times {\frac{1-q^{\text{nombre de termes}}}{1-q}}$.

Notamment : $\sum_{0}^{n }\left( u\right) =u_0 \times {\frac{1+q^{n+1}}{1-q}}$


Démonstration :

Chaque terme peut être exprimé sous la forme $u_{0} \times q^n$. En factorisant la somme par $u_{0}$, on obtient $\text{S}_v=u_{0} \times \text{S}_2$


Exercice type

Luc accepte un emploi pour lequel le salaire mensuel est 1200€. Son contrat stipule que chaque année, son salaire sera augmenté de 3%.

Combien aura-t-il gagné en 7 ans ?


On considère le salaire annuel de Luc : ${12000} \times {12} ={144000}€$.

Le salaire annuel est modélisé par la suite $\left( \text{L}\right) $ définie par $\text{L}\left( n\right) ={144000}+{1,03}^n$. $\left( \text{L}\right) $ est une suite géométrique de raison ${1,03}$ et de premier terme ${144000}$.

$ \sum_{0}^{6}\left( \text{L}\right) ={144000} \times {\frac{{1}-{1,03}^{7}}{{1}-{1,03}}} ={1103394,55}$.

En 7 ans, il aura gagné 1 103 394,55€.


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