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Lois à densité - Mathématiques

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Lois à densité

lundi 2 juillet 2018, par David Rodrigues

Lois à densité

Fonction de densité

I – Fonctions de densité

1. Variable aléatoire continue
Définition  :

Soit un univers probabiliste muni de sa loi de probabilité.

On appelle variable aléatoire continue sur un intervalle une variable aléatoire à valeurs dans cet intervalle.



Exemples  : la taille ou la masse d’un individu dans une population, le temps d’attente pour un service, le temps de trajet pour se rendre sur son lieu de travail…

2. Fonction de densité
Définition  :

On appelle fonction de densité sur un intervalle $[a \mathrm{;} b]$ toute fonction $f$ définie, continue et positive sur $[a \mathrm{;} b]$ telle que $\int_{a}^{b}f\left( x\right) dx={1}$.



3. Probabilité d’une variable aléatoire continue
Définition  :

Soit $\text{X}$ une variable aléatoire continue à valeurs dans $[a \mathrm{;} b]$ et $f$ sa fonction de densité sur $[a \mathrm{;} b]$.

La loi de probabilité de $\text{X}$ associe à tout intervalle $[c;d]$ de $[a  \mathrm{;} b]$ le nombre $\int_{c}^{d}f\left( x\right) dx$.

On a $\text{P}\left( c \leq \text{X} \leq d\right) =\int_{c}^{d}f\left( x\right) dx$


Corollaires  :

Pour tout réel $c$ de $[a \mathrm{;} b]$, on a $\text{P}\left( \text{X}=c\right) ={0}$ et $\text{P}\left( c \leq \text{X} \leq b\right) ={1}-\text{P}\left( a \leq \text{X} \leq c\right) $


Démonstration :

Par calcul $\int_{c}^{c}f\left( x\right) dx={0}$.
Par la relation de Chasles, $\text{P}\left( a \leq \text{X} \leq c\right) +\text{P}\left( c \leq \text{X} \leq b\right) ={1}$.


Théorème  :

Soit $\text{X}$ une variable aléatoire continue à valeurs dans $[a \mathrm{;} b]$ et $f$ sa fonction de densité sur $[a \mathrm{;} b]$.

L’espérance de $X$ est $\text{E}\left( \text{X}\right) = \int_{a}^{b}{ xf\left( x\right) } \text{d}x $.


Démonstration :

Par définition, $\text{E}\left( X\right) =x_\text{i} p_\text{i}$. Dans le cas d’une variable continue, la fonction de répartition est donc $xf\left( x\right) $. D’où la formule.


Loi uniforme

II – Loi uniforme

1. Loi uniforme sur un intervalle
Définition  :

On appelle loi uniforme sur un intervalle $[a \mathrm{;} b]$ une loi de densité dont la fonction de densité est constante sur l’intervalle $[a \mathrm{;} b]$.


2. Fonction de densité d’une loi uniforme
Corollaire  :

La fonction de densité d’une loi uniforme sur $[a \mathrm{;} b]$ est définie par $f\left( x\right) =\frac{1}{b-a}$.


Démonstration :

Par définition $f\left( x\right) =k$ et $\int_{a}^{b}f\left( x\right) dx={1}$, donc $\text{F}\left( x\right) =kx$ et $kb-ka={1}$ $k\left( b-a\right) ={1}$ $k=\frac{1}{b-a}$.


3. Probabilité dans une loi uniforme
Propriétés  :

Pour tout intervalle $\left( c \mathrm{;} d\right) $ de $[a \mathrm{;} b]$, on a $\text{P}\left( \text{X}\in [c;d]\right) =\frac{d-c}{b-a}$.

L’espérance de la loi uniforme sur $[a \mathrm{;} b]$ est $\frac{b+a}{2}$.


Démonstrations :

Par calcul $\int_{c}^{d}{\frac{1}{b}-a}} dx=\frac{d-c} {b-a}$.
Par calcul $E\left( X\right) =\frac{1}{b-a} \int_{a}^{b}x dx=\frac{1}{b-a} \frac{b^2-a^2} {2} = \frac{b+a} {2}$.


Lois normales

III – Lois normales

1. Loi normale centrée réduite $N(0;1)$
Définition  :

On appelle loi normale centrée réduite la loi de densité dont la fonction de densité sur ℝ est $ \text{φ}\left( x\right) ={\frac{1}{ \sqrt {{2}\text{π}}}}\text{e}^{-{\frac{x^{2}}{2}}}$.


Remarque : La fonction $ \text{φ}$ n’a pas de primitive exprimable à l’aide des fonctions usuelles. Par conséquent, les calculs de probabilités d’une variable suivant la loi normale centrée réduite se font exclusivement à la calculatrice.


A la calculatrice, pour calculer $\text{P} \left( a \le \text{X} \le b \right)$, on tape : OPTN – STAT – DIST – NORM – NCD → NormCD(a,b).


Propriétés :

La fonction $ \text{φ} est paire : $\textφ\left( -x\right) =\textφ\left( x\right) $. Sa courbe représentative admet l’axe des ordonnées comme axe de symétrie.

Si une variable aléatoire $\text{X}$ suit la loi normale centrée réduite, alors $\text{E}\left( \text{X}\right) ={0}$.


Démonstrations :

Par calcul, on démontre que $\text{φ}\left( -x\right) =\text{φ}\left( x\right) $.

Alors $ \int_{-\infty }^{0}\text{φ}\left( x\right) dx=\int_{0}^{+\infty }\text{φ}\left( x\right) dx =\frac{1}{2}$. Donc $\text{E}\left( \text{X}\right) =\int_{-\infty }^{+\infty }x \text{φ}\left( x\right) dx ={0}$.


Propriétés  :

Soit $X$ une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite.

Pour tout réel $c$, on a :

1. $\text{P}\left( -c < \text{X} < c\right) =p\left( \text{X} < c\right) -\text{P}\left( \text{X} < -c\right) $

2. $\text{P}\left( \text{X} > c \right) =\text{P}\left( \text{X} < -c\right) $

3. $\text{P}\left( -c < \text{X} < c\right) ={1}-{2}\text{P}\left( \text{X} < -c\right) $


Démonstrations :

1. Par la relation de Chasles appliquée aux intégrales

2. Par symétrie

3. En associant 1 et 2.


Définitions (Rappels) :

On appelle variance d’une variable aléatoire l’espérance du carré des écarts à l’espérance.

On appelle écart-type d’une variable aléatoire la racine carrée de la variance de cette variable.


Propriétés (admises) :

Soit $X$ une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite.

La variance de $X$ est $\text{V}\left( \text{X}\right) ={1}$.

L’écart-type de $X$ est $\text{σ}\left( \text{X}\right) ={1}$.


Remarque : Le nom de la loi Normale centrée réduite $\text{N}\left( {0} \mathrm{;} {1}\right) $ est lié à l’espérance et la variance de toute variable suivant cette loi.

Puisque $\text{E}\left( \text{X}\right) ={0}$, la courbe est CENTRÉE sur l’axe des ordonnées.

Puisque $\text{V}\left( \text{X}\right) ={1}$, la dispersion autour de la valeur centrale est REDUITE.


Valeurs remarquables :

Soit X une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite.

$\text{P}\left( -{1} < \text{X} < {1}\right) ={0,683}$

$\text{P}\left( -{2} < \text{X} < {2}\right) ={0,954}$

$\text{P}\left( -{3} < \text{X} < {3}\right) ={0,997}$

$\text{P}\left( -{1,96} < \text{X} < {1,96}\right) \approx {0,95}$


Exercice type

On considère une variable aléatoire X suivant la loi normale centrée réduite.

1. Calculer $\text{P}\left( \text{X} > {0,5}\right) $, $\text{P}\left( \text{X} < -{0,5}\right) $, $\text{P}\left( -{0,5} < \text{X}<{0,5 }\right) $.

2. Calculer $\text{P}\left( \text{X} < {1}\right) $


1. On a $\text{P}\left( \text{X} > {0,5}\right) =\text{P}\left( \text{X} < -{0,5}\right) $ et $\text{P}\left( -{0,5} < \text{X} < {0,5}\right) ={1}-{2}\text{P}\left( \text{X} < -{0,5}\right) $.

On calcule $ \text{P}\left( \text{X} > {0,5}\right) =\frac{1}{2}-\text{P}\left( {0} < \text{X}< {0,5}\right) =\frac{1}{2}-{0,19146}={0,30854}$.

On calcule $\text{P}\left( -{0,5} < \text{X}<{0,5}\right) ={0,38292}$.

2. On sait que $\text{P}\left( -{1} < \text{X} < {1}\right) ={0,683}$. On en déduit $ \text{P}\left( {0} < \text{X} < {1}\right) ={\frac{1}{2}}{\text{P}\left( -{1} < \text{X} < {1}\right) }={0,3415}$.

Alors $ \text{P}\left( \text{X} < {1}\right) =\frac{1}{2}+\text{P}\left( {0}<\text{X} < {1}\right) ={0,8415}$.


2. Loi normale $\text{N}\left( \mu \mathrm{;} \, \sigma^{2}\right) $
Valeurs remarquables :

Soit $\text{X}$ une variable aléatoire suivant la loi normale $\text{N}\left( \mu \mathrm{;} \, \sigma^{2}\right) $.

$\text{P}\left( -{\sigma}<\text{X}<{\sigma}\right) ={0,683}$

$\text{P}\left( -{2\sigma}<\text{X}<{2\sigma}\right) ={0,954}$

$\text{P}\left( -{3\sigma}<\text{X}<{3\sigma}\right) ={0,997}$

$\text{P}\left( -{1,96\sigma}<\text{X}<{1,96\sigma}\right) \approx {0,95}$


Propriétés (admises) :

Soit $\text{X}$ une variable aléatoire suivant la loi binomiale $\text{B}\left( n\, \mathrm{;} \, p\right) $.

On note $\mu\, =\, np$, $\text{V}\, =\, np\left( {1}\, -\, p\right) $ et $\sigma\, =\, \sqrt {\text{V}}$.

Si $n \geq {30}$, $np \geq {5}$ et $n\left( {1}\, -\, p\right) \geq {5}$, on considère que la variable aléatoire continue $\text{Y}$ suivant la loi $\text{N}\left(\mu\, \mathrm{;} \, \sigma^{2}\right) $ est une bonne approximation de $\text{X}$.


Théorème de Moivre-Laplace (admis) :

Soit $\text{X}$ une variable aléatoire suivant la loi binomiale $\text{B}\left( n\, \mathrm{;} \, p\right) $.

On note $ \mu\, =\, np$, $\text{V}\, =\, np\left( {1}\, -\, p\right) $ et $\sigma\, =\, \sqrt {\text{V}}$.

Si $n \geq {30}$, $np \geq {5}$ et $n\left( {1}\, -\, p\right) \geq {5}$, on considère que la variable aléatoire continue $ \text{Z}\, =\, \frac{\text{X}\, -\mu}{\sigma}$ suivant la loi $\text{N}\left( 0;1\right) $ est une bonne approximation de $\text{X}$.


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