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Fonctions de référence - Mathématiques

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Fonctions de référence

lundi 18 juin 2018, par David Rodrigues

Fonctions de référence

Racine carrée

I – Fonction Racine carrée

1. Définitions
Définition  :

Soit un nombre réel positif $a$.

On appelle racine carrée de $a$ l’unique nombre positif dont le carré est a. On le note $ \sqrt {a}$.


Définition  :

On appelle fonction racine carrée la fonction réciproque de la restriction sur R+ de la fonction carré.

La fonction racine carrée est définie sur R+ et à valeurs dans R+. Elle est définie par $f\left( x\right) = \sqrt {x}$.


2. Étude de fonction
Propriété  :

La fonction racine carrée est positive sur R+.

La fonction racine carrée est strictement croissante sur R+.


Démonstration :

La fonction carré est strictement croissante sur R+. Sa réciproque aussi.


Propriété  :

La fonction racine carrée réalise une bijection de R+ sur R+.

Pour tout réel positif $k$, il existe un unique réel tel que $ \sqrt {x}=k$

Pour tous réels positifs $a$ et $b$, $ \sqrt {a}= \sqrt {b}$ ⇔ $a=b$.

Pour tous réels positifs $a$ et $b$, $ \sqrt {a}> \sqrt {b}$ ⇔ $a>b$.



3. Positions relatives de courbes
Propriété  :

Pour tout ${0} \leq x<{1}$, $x^{2} < x < \sqrt {x}$.

Pour $x={1}$, $x^{2}=x= \sqrt {x}$.

Pour tout $x > {1}$, $ \sqrt {x} < x < x^{2}$.


Démonstration :

Si $x={1}$, l’égalité est immédiate.

Si $x < {1}$, par sa croissance, $ \sqrt {x} < \sqrt {1}$. En multipliant par $ \sqrt {x}$, on obtient $x < \sqrt {x}$. De même, $x < {1}$ donne $x^{2} < x$.

Si $x > {1}$, par sa croissance, ${1} < \sqrt {x}$ donne $ \sqrt {x} < x$. De même, ${1} < x$ donne $x < x^{2}$.


Valeur absolue

II – Valeur absolue

1. Définition
Définition  :

Soit un nombre réel $a$.

On appelle valeur absolue de $a$ l’unique nombre positif tel que $\left|{a}\right|=\left \{ \matrix{a & si a \geq {0} \cr -a & si a<{0} } \right .$.


Corollaire  :

Pour tout réel $a$ non nul, $\left|{a}\right|=-\left|{-a}\right|$.


2. Distance entre deux réels
Définition  :

La distance entre deux réels $x$ et $y$, notée $d\left( x \mathrm{;} y\right) $, est la distance exprimée en unités graphique entre les points d’abscisses $x$ et $y$ sur une droite graduée.

La distance entre $x$ et $y$ est un réel positif.


Théorème  :

Pour tous réels $x$ et $y$, on a : $d\left( {0} \mathrm{;} x\right) =\left|{x}\right|$ et $d\left( x \mathrm{;} y\right) =\left|{y-x}\right|$.


Démonstration :

$d\left( {0} \mathrm{;} x\right) =\left|{x}\right|$ par définition de la distance à zéro.

Par définition, $\left|{y-x}\right| =\left \{ \matrix{y-x & si y-x \geq {0} \cr x-y & si y-x<{0}} \right . = d\left( x \mathrm{;} y\right) $.


Théorèmes  :

Pour tous réels $x$ et $y$, on a :

$\left|{xy}\right|=\left|{x}\right| \times \left|{y}\right|$

si $y<>{0}$, $\left|{\frac{x}{y}}\right|=\frac{\left|{x}\right|}{\left|{y}\right|}$

$\left|{x+y}\right| \leq \left|{x}\right|+\left|{y}\right|$ (inégalité triangulaire)


Démonstration :

Produit et quotient par les théorème de signe d’un produit de relatifs.

Inégalité triangulaire : égalité si $x$ et $y$ sont de même signe ; sinon, $\left|{x+y}\right| =d\left( x \mathrm{;} y\right) $.



3. Étude de fonction
Définition :

La fonction valeur absolue est définie sur R et à valeurs dans R+. Elle est définie par $f\left( x\right) = \left|{x}\right|$.


Propriété  :

La fonction valeur absolue est positive sur R+.

La fonction valeur absolue est strictement décroissante sur R- et strictement croissante sur R+.


Démonstration :

Sur R-, $\left|{x}\right|=-x$, d’où la décroissance.

Sur R+, $\left|{x}\right|=x$, d’où la croissance.


Propriété  :

La fonction valeur absolue est paire. Pour tout x réel, $\left|{x}\right|=\left|{-x}\right|$.


Démonstration :

Sur R-, $\left|{x}\right|=-x$, d’où la décroissance.

Sur R+, $\left|{x}\right|=x$, d’où la croissance.




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