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Dérivation - Mathématiques

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Dérivation

lundi 2 juillet 2018, par David Rodrigues

Dérivation

Nombre dérivé

I – Nombre dérivé

1. Taux d’accroissement d’une fonction
Définition  :

Soit une fonction $f$ et deux réels $a$ et $b$ distincts de son ensemble de définition.

On appelle taux d’accroissement de $f$ entre $a$ et $b $ le réel $\frac{f\left( b\right) -f\left( a\right) }{b-a}$.


Remarque  : le taux d’accroissement entre $a$ et $b$ est le coefficient directeur de la droite passant par $\text{A}\left( a  \mathrm{;} f\left( a\right) \right) $ et $\text{B}\left( b \mathrm{;} f\left( b\right) \right) $.


2. Nombre dérivé d’une fonction en un point
Définition  :

Soit une fonction $f$, et deux réels $a$ et $h$ tels que $a+h$ appartient à l’ensemble de définition de $f$.

La fonction $f$ est dérivable en $a$ si la limite du taux d’accroissement entre $a$ et $a+h$ quand $h$ tend vers 0 est un nombre réel unique.

On appelle ce réel nombre dérivé en $a$ de $f$, noté $f'\left( a\right) $.

$f'\left( a\right) = \lim_{h \rightarrow 0}{\frac{f\left( a+h\right) -f\left( a\right) }{h}}$.




Tangente

II – Tangente à une courbe

1. Droite tangente en un point
Définition  :

Soit une fonction $f$, $\text{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère et un réel $a$ de son ensemble de dérivabilité.

On appelle tangente à $C_f$ au point d’abscisse $a$ la droite de coefficient directeur $f'\left( a\right) $ passant par $\text{A}\left( a \mathrm{;} f\left( a\right) \right) $.


Remarque  : la tangente en A est la position limite d’une sécante en A et B quand B tend vers A.


2. Équation réduite d’une tangente
Propriété  :

Pour tout réel $a$ de l’ensemble de dérivabilité de $f$, l’équation réduite de la droite $\left( \text{T}_a\right) $ tangente à $\text{C}_f$ en A d’abscisse $a $ est : $y=\left( x-a\right) f'\left( a\right) +f\left( a\right) $.


Démonstration :

Par définition, la tangente en A admet une équation réduite de la forme $y=f'\left( a\right) x+b$ et passe par $\text{A}\left( a \mathrm{;} f\left( a\right) \right) $.

Donc, en A, $f\left( a\right) =af'\left( a\right) +b$. Donc $b=f\left( a\right) -af'\left( a\right) $.

Alors $y=xf'\left( a\right) -af'\left( a\right) +f\left( a\right) =\left( x-a\right) f'\left( a\right) +f\left( a\right) $.


Exercice type

On considère les fonction $f\left( x\right) =x^{3}+{2}x^2$ et $g\left( x\right) =\frac{{2}x+{1}}{x-{4}}$.

Déterminer l’équation réduite des tangentes à leurs courbes représentatives respectives en 2.


$f$ est définie sur R. Donc, quelque soit la valeur de $h$, ${2}+h$ appartient à $\text{D}_f$.

On calcule $f\left( {2}\right) ={16}$.

On exprime le taux d’accroissement de $f$ entre ${2}$ et ${2}+h$ :

$\frac{f\left( {2}+h\right) +f\left( {2}\right) }{h} =\frac{\left( \left( {2}+h\right) ^{3}+{2}\left( {2}+h\right) ^{2}\right) -16}{h} =\frac{\left( {8}+{12}h+{6}h^{2}+h^{3}+{8}+{8}h+{2}h^{2}\right) -16}{h} =\frac{{20}h+{8}h^{2}+h^{3}}{h} ={20}+{8}h+h^{2}$

Donc $f'\left( {2}\right) =\lim_{h \rightarrow {0}}{20+8h+h^2}={20}$.

Alors $\text{T}\left( {2}\right) nitalic: y={20}\left( x-{2}\right) +{16}={20}x-{24}$.

$g$ est définie sur $\text{R}- \left \{ {4} \right \} $. Donc, pour tout $h \leq {2}$, ${2}+h$ appartient à $\text{D}_g$.

On calcule $g\left( {2}\right) =-{\frac{5}{2}}$

On exprime le taux d’accroissement de $g$ entre ${2}$ et ${2}+h$ :

$\frac{g\left( {2}+h\right) +g\left( {2}\right) }{h} =\frac{{\frac{{2}\left( {2}+h\right) +{1}}{{2}+h-{4}}}-\left({-{\frac{5}{2}}}\right)}{h} =\frac{{\frac{{5}+{2}h}{h-{2}}}+{\frac{5}{2}}}{h} =\frac{{10}+{4}h+{5}h-{10}}{{2}h\left( h-{2}\right) } =\frac{9}{{2}\left( h-{2}\right) }$.

Donc $g'\left( {2}\right) =\lim_{h \rightarrow {0}}{\frac{9}{2\left( h-2\right) }}=-{\frac{9}{4}}$.

Alors $ \text{T}\left( {2}\right) nitalic: y={-{\frac{9}{4}}}\left( x-{2}\right) -{\frac{5}{2}}=-{\frac{9}{4}}x+{2}$.


Fonction dérivée

III – Fonction dérivée

1. Définition
Définition :

Soit une fonction $f$, dérivable sur un ensemble $\text{D}'_f$.

On appelle fonction dérivée de $f$ la fonction $f'$ qui, à tout réel $x$ de $\text{D}'_f$, associe le nombre dérivé $f'\left( x\right) $.


Exercice type

Déterminer les fonctions dérivées de $f\left( x\right) =x^{2}-{2}$ et $g\left( x\right) =\frac{3}{x}$.

$f$ est définie et dérivable sur R.

On exprime le taux d’accroissement de $f$ entre $x$ et $x+h$.

$\frac{f\left( x+h\right) -f\left( x\right) }{h} =\frac{\left( \left( x+h\right) ^{2}-{2}\right) -\left( x^{2}-{2}\right) }{h} =\frac{x^{2}+{2}xh+h^{2}-{2}-x^{2}+{2}}{h} =\frac{{2}xh+h^{2}}{h} ={2}x+h$.

Alors $f'\left( x\right) =\lim_{h \rightarrow {0}}{2}x+h={2}x$

$g$ est définie et dérivable sur R*.

On exprime le taux d’accroissement de $g$ entre $x$ et $x+h$.

$\frac{g\left( x+h\right) -g\left( x\right) }{h} =\frac{ \left(\frac{3}{x+h} \right)- \left(\frac{3}{x} \right)}{h} =\frac{\frac{{3}x-{3}x-{3}h}{x\left( x+h\right) }}{h} =-{\frac{3}{x\left( x+h\right) }}$.

Alors $g'\left( x\right) =\lim_{h \rightarrow {0}}{-{\frac{3}{x\left( x+h\right) }}}=-{\frac{3}{x^{2}}}$


2. Dérivées des fonctions de référence

Propriétés  :

Forme de la fonctionEnsemble de définitionForme de la dérivéeEnsemble de définition
$x^n$ (avec n entier positif) $]-\infty \mathrm{;} +\infty [$ $nx^{n-{1}}$ $]-\infty \mathrm{;} +\infty [$
$x=x^{1}$ $]-\infty \mathrm{;} +\infty [$ ${1}x^{0}={1}$ $]-\infty \mathrm{;} +\infty [$
$x^{2}$ $]-\infty \mathrm{;} +\infty [$ ${2}x$ $]-\infty \mathrm{;} +\infty [$
$x^{3}$ $]-\infty \mathrm{;} +\infty [$ ${3}x^{2}$ $]-\infty \mathrm{;} +\infty [$
$\frac{1}{x}=x^{-{1}}$ $]-\infty \mathrm{;} {0}[\cup]{0}  \mathrm{;} +\infty [$ $-x^{-{2}}=-{\frac{1}{x^{2}}}$ $]-\infty \mathrm{;} {0}[\cup]{0}  \mathrm{;} +\infty [$
$\frac{1}{x^n} =x^{-n}$ (avec n entier positif) $]-\infty \mathrm{;} {0}[\cup]{0}  \mathrm{;} +\infty [$ $-\frac{n}{x^{n+{1}}}= -nx^{-{(n+{1})}}$ $]-\infty \mathrm{;} {0}[\cup]{0}  \mathrm{;} +\infty [$
$ \sqrt {x}$ $[{0} \mathrm{;} +\infty [$ $\frac{1}{{2} \sqrt {x}}$ $]{0} \mathrm{;} +\infty [$


Démonstrations :

Toutes les formules sauf les généralisations – par définition : on calcule la limite du taux d’accroissement entre $x$ et $x+h$ quand $h$ tend vers ${0}$.

Les généralisations sont admises (démonstration par récurrence en terminale).



3. Dérivées de composées

Propriétés  :
Soient deux fonctions $u(x)$ et $v(x)$ dérivables sur un intervalle et un réel $k$.

Opération sur les fonctionsDérivéeRestrictions
$u+v$ $u'+v'$
$ku$ $ku'$
$ax+b$ $a$
$u \times v$ $u'v+uv'$
${u}^n$ $n u' u^{n-1}$
$\sqrt{u}$ $\frac{u'}{{2} \sqrt {u}}$ Pour tout $x$ vérifiant $u(x) \> 0$
$\frac{1}{v}$ $-{\frac{v'}{v^{2}}}$ Pour tout $x$ vérifiant $v(x) \neq 0$
$\frac{u}{v}$ $\frac{u'v-uv'}{v^{2}}$ Pour tout $x$ vérifiant $v(x) \neq 0$


Démonstrations :

Toutes les formules sauf les généralisations – par définition : on calcule la limite du taux d’accroissement entre $x$ et $x+h$ quand $h$ tend vers ${0}$.

La généralisation est admise (démonstration par récurrence en terminale).




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