Strict Standards: Only variables should be passed by reference in /data/web/4/1/maths.toile-libre.org/htdocs/config/ecran_securite.php on line 283
Logarithme nepérien - Mathématiques

Accueil > Terminale ES/L > Cours et Exercices > Logarithme nepérien

Logarithme nepérien

lundi 3 septembre 2018, par David Rodrigues

Logarithme nepérien

Fonction ln

I – Fonction logarithme népérien

1. Définition
Définition  :

On appelle logarithme népérien la fonction définie sur $ℝ+*$ à valeurs dans $ℝ$, réciproque de la fonction exponentielle.

Pour tout réel $x$ strictement positif, $ \text{ln} x=y ⇔ x=\text{e}^y$.


Remarque : Pour tout réel $x$ strictement positif, l’unique solution de $\text{e}^y=x$ est le réel $y= \text{ln} x$.


Corollaires  :

$ \text{ln} {1}={0}$

$ \text{ln} \text{e}={1}$

Pour tout réel $x$ strictement positif, $\text{e}^{ \text{ln} x}=x$.

Pour tout réel $y$, $ \text{ln} \text{e}^y=y$.

Pour tout réel $k$ strictement positif, l’unique solution de $\text{e}^x=k$ est $x= \text{ln} k$.


2. Relation fonctionnelle
Théorème :

La fonction logarithme népérien transforme les produits en sommes.

Pour tous réels strictement positifs $a$ et $b$, $ \text{ln} \left( a \times b\right) = \text{ln} a+ \text{ln} b$.


Démonstration :

Pour tous $a$ et $b$ strictement positifs, il existe des réels $x$ et $y$ tels que $a=\text{e}^x ⇔ \text{ln} a=x$ et $b=\text{e}^y ⇔ \text{ln} b=y$.

$ \text{ln} \left( a \times b\right) = \text{ln} \left( \text{e}^x \times \text{e}^y\right) = \text{ln} \text{e}^{x+y} =x+y = \text{ln} a+ \text{ln} b$.


Théorèmes  :

Pour tous réels strictement positifs $a$ et $b$, $ \text{ln} \left(\frac{1}{a} \right)=- \text{ln} a$ et $ \text{ln} \left(\frac{b}{a} \right)= \text{ln} b- \text{ln} a$.

Pour tout réel strictement positif $x$ et tout entier relatif $n$, $ \text{ln} \left( x^n\right) =n \text{ln} x$.

Pour tout réel $q$ strictement positif et tout réel $x$, $ \text{ln} \left( q^x\right) =x \text{ln} q$.


Démonstrations :

$ \text{ln} \left({\frac{1}{a}} \times a \right)= \text{ln} {1}={0}$ et $ \text{ln} \left({\frac{1}{a}} \times a \right)= \text{ln} \left(\frac{1}{a} \right)+ \text{ln} a ={0}$. Donc $ \text{ln} \left(\frac{1}{a} \right)=- \text{ln} a$.

$ \text{ln} \left(\frac{b}{a} \right)= \text{ln} \left(b \times {\frac{1}{a}} \right)= \text{ln} b+ \text{ln} \left(\frac{1}{a} \right)= \text{ln} b- \text{ln} a$.

$x^n= \underbrace{x \times x \times \ldots \times x}_ {n \text{facteurs}} $. Donc $ \text{ln} \left( x^n\right) = \text{ln} \left( \underbrace{x \times x \times x \times \ldots \times x}_{n \text{facteurs} }\right) =n \text{ln} x$.

Extension du précédent aux exponentielles de base $q$.


Exercice type

1.Résoudre $\left( \text{e}^x-{9}\right) \left( \text{ln} x+{1}\right) ={0}$.

2. Résoudre ${48}+{2} \times {3}^x={150}$.


1. $\left( \text{e}^x-{9}\right) \left( \text{ln} x+{1}\right) ={0}$

⇔ $\text{e}^x-{9}={0}$ ou $ \text{ln} x+{1}={0}$

⇔ $\text{e}^x={9}$ ou $ \text{ln} x=-{1}$

⇔ $x= \text{ln} {9}$ ou $x=\text{e}^{-1}$

⇔ $x={2} \text{ln} {3}$ ou $ x=\frac{1}{\text{e}}$

$ \text{S}= \left \{ \frac{1}{\text{e}} \mathrm{;} {2} \text{ln} {3} \right \} $

2. ${48}+{2} \times {3}^x={150}$

⇔ ${2} \times {3}^x={102}$

⇔ ${3}^x={51}$

⇔ $x \text{ln} {3}= \text{ln} {51}$

⇔ $x \text{ln} {3}= \text{ln} {3}+ \text{ln} {17}$

⇔ $ x={1}+\frac{ \text{ln} {17}}{ \text{ln} {3}}$.

$ \text{S}= \left \{ {1}+\frac{ \text{ln} {17}}{ \text{ln} {3}} \right \} $


Etude de fonction

II – Étude de la fonction $ln$

1. Dérivée
Propriété (admise) :

La fonction logarithme népérien est dérivable sur $ℝ+*$. Sa dérivée est la fonction inverse.


Propriété (admise) :

Toute fonction $f'\left( x\right) \, =\, \frac{u'}{u}$ de la forme $ \text{ln} \left( u\right) $ où $u$ est une fonction à valeurs strictement positives a pour dérivée la fonction $f'\left( x\right) \, =\, \frac{u'}{u}$.



2. Variations
Théorème  :

Le tableau de variations de la fonction $ \text{ln} $ est :

PNG - 8.2 ko


Corollaire  :

Pour tous réels strictement positifs $a$ et $b$, $a \leq b⇔ \text{ln} a \leq \text{ln} b$.


Propriété  :

La fonction $ \text{ln} $ est concave sur $ℝ+*$.


Démonstration :

Sa dérivée seconde est $-{\frac{1}{x^{2}}}$, négative sur ℝ+*.




3. Croissances comparées
Théorème (admis) :

Pour tout réel $x$ strictement positif, on a : $ \text{ln} x \le x \le \text{e}^x$.



SPIP | | Plan du site | Suivre la vie du site RSS 2.0
Habillage visuel © digitalnature sous Licence GPL