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Trigonométrie - Mathématiques

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Trigonométrie

lundi 20 août 2018, par David Rodrigues

Trigonométrie

Radians

I – Mesure d’un angle en radian

1. Radian
Définition :

On appelle radian la mesure d’un angle interceptant un arc de cercle dont la longueur est égale au rayon du cercle.


Corollaire :

On a : $\text{π} rad = {180} ^\circ$


Théorème :

Si un angle géométrique α est exprimé en radians, la longueur de l’arc intercepté est $\text{R} \times \text{α}$.


Démonstration :

La longueur de l’arc intercepté est proportionnel à la mesure de l’angle. Or, par définition, la longueur de l’arc intercepté par un angle de 1 rad est égale au rayon.


Exercice type

Soit un angle $\alpha={135} ^\circ$. Donner sa mesure en radians.

Soit un angle $ \beta=\frac{{5}\pi}{12}$. Donner sa mesure en degrés.


1. En utilisant la relation ${180} ^\circ=\pi rad$, on simplifie la fraction $\frac{135}{180} =\frac{3}{4}$. Donc $ \alpha=\frac{{3}\pi}{4}$.

2. En utilisant la relation ${180} ^\circ=\pi rad$, on calcule $\frac{{5} \times {180}}{12} ={150}$. Donc $\beta={150} ^\circ$.



2. Cercle trigonométrique et angles orientés
Définition :

On appelle cercle trigonométrique un cercle de rayon 1 sur lequel on enroule la droite des réels dans le sens trigonométrique direct.


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Cercle trigonométrique



Théorème :

Si une mesure en radians d’un angle géométrique orienté est $a$, alors toutes ses mesures en radians sont de la forme $%alfa+ 2k%pi  \mathrm{;} k  \in   \mathbb{Z} $.


Démonstration :

L’angle géométrique est reproduit à chaque tour de cercle trigonométrique.

Or, la mesure d’un tour est ${2}\pi$ radians. D’où la propriété.


Définition :

On appelle mesure principale d’un angle l’unique mesure de cet angle appartenant à $]-\pi \mathrm{;} \pi]$.


Exercice type

Soit les angles $ \alpha=\frac{{13}\pi}{2}$ et $ \beta=-{\frac{{22}\pi}{3}}$. Donner leur mesure principale.


$\alpha=\frac{{12}\pi}{2}+\frac{\pi}{2} ={6}\pi+\frac{\pi}{2} ={3} \times {2}\pi+\frac{\pi}{2}$. Donc la mesure principale de $\alpha$ est $\frac{\pi}{2}$.

$ \beta=-{\frac{{18}\pi}{3}}-\frac{{4}\pi}{3} =-{3} \times {2}\pi-\frac{{4}\pi}{3} =-{3} \times {2}\pi-\frac{{6}\pi}{3}+\frac{{2}\pi}{3} =-{4} \times {2}\pi+\frac{{2}\pi}{3}$. Donc la mesure principale de $ \beta$ est $\frac{{2}\pi}{3}$.



3. Angles de vecteurs
Définition :

On appelle angle de vecteurs $\left( \vec {u} \mathrm{;} \vec {v}\right) $ l’angle orienté déterminé par des représentants respectifs de $ \vec {u}$ et $ \vec {v}$ de même origine.


Théorème :

Les angles $\left( \vec {u} \mathrm{;} \vec {v}\right) $ et $\left( -\vec {u} \mathrm{;} -\vec {v}\right) $ sont égaux.


Démonstration :

Les angles géométriques décrits sont opposés par le sommet et de même sens.


Théorème (Relation de Chasles) :

Soit deux angles $\left( \vec {u} \mathrm{;} \vec {v}\right) $ et $\left( \vec {v} \mathrm{;} \vec {w}\right) $.

Leur somme est l’angle $\left( \vec {u} \mathrm{;} \vec {w}\right) $


Démonstration :

Tous les représentants de $ \vec {v}$ de même origine sont confondus.


Théorème :

L’opposé d’un angle $\left( \vec {u} \mathrm{;} \vec {v}\right) $ est l’angle $\left( \vec {v} \mathrm{;} \vec {u}\right) $.


Démonstration :

Leur somme est le vecteur $\left( \vec {u} \mathrm{;} \vec {u}\right) $.


Sinus et cosinus

II – Sinus et cosinus

1. Sinus et cosinus d’un réel
Définition :

Soit $a$ un réel et $\text{M}$ le point du cercle trigonométrique associé à $a$.

On appelle cosinus de $a$ l’abscisse du point M, notée $ \text{cos} a$.

On appelle sinus de $a$ l’ordonnée du point M, notée $ \text{sin} a$.


Théorème :

Soit un réel $a$ et un réel $b=a+ {2}k \pi  \mathrm{;} k  \in   \mathbb{Z} $.

$ \text{cos} b= \text{cos} a$ et $ \text{sin} b= \text{sin} a$.


Démonstration :

Le point M associé à $a$ est aussi associé à $b$.


Théorème :

Pour tout réel $a$, on a :

$ \text{sin} a \in [-{1} \mathrm{;} {1}]$

$ \text{cos} a \in [-{1} \mathrm{;} {1}]$

$ \text{cos} ^{2}a+ \text{sin} ^{2}a={1}$.

Démonstration :

Les extrema d’abscisse et d’ordonnées sur le cercle trigonométrique.

Relation de Pythagore dans un triangle rectangle d’hypoténuse OM.


2. Sinus et cosinus d’un angle de vecteur
Définition :

Soit un angle de vecteurs $\left( \vec {u} \mathrm{;} \vec {v}\right) $ et $a$ une de ses mesures en radians.

$\cos \left( \vec {u}{ \mathrm{;} } \vec {v}\right) = \text{cos} a$ et $\sin \left( \vec {u}{ \mathrm{;} } \vec {v}\right) = \text{sin} a$


Théorème :

On considère le plan muni d’un repère $\left( \text{O} {;} \vec {i} {,} \vec {j} \right) $.

Pour tout point A, on peut déterminer un réel $a= \left( \vec {i}{ \mathrm{;} } \overrightarrow{\text{OA}}\right) $.

Alors les coordonnées de A dans le repère sont $\left( \text{OA} \text{cos} a \mathrm{;} \text{OA} \text{sin} a\right) $.


Démonstration :

On nomme M l’intersection de $\[ \text{OA} \right) $ et du cercle trigonométrique.

Par définition, les coordonnées de M sont $\left( \text{cos} a \mathrm{;} \text{sin} a\right) $.

De plus, $ \overrightarrow{\text{OA}} =\text{OA} \cdot \overrightarrow{\text{OM}}$. D’où les coordonnées de $ \overrightarrow{\text{OA}}$ et de A.


3. Angles associés
Théorèmes :

Pour tout réel $a$, on a :

$ \text{sin} \left( -a \right) =- \text{sin} a$ et $ \text{cos} \left( -a \right) = \text{cos} a$

$ \text{sin} \left( a+\pi \right) =- \text{sin} a$ et $ \text{cos} \left( a+\pi \right) =- \text{cos} a$

$ \text{sin} \left( \pi -a\right) = \text{sin} a$ et $ \text{cos} \left( \pi -a\right) =- \text{cos} a$

$ \text{sin} \left(\frac{\pi}{2}-a \right)= \text{cos} a$ et $ \text{cos} \left(\frac{\pi}{2}-a \right)= \text{sin} a$


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Angles associés


Démonstration :

Par symétries sur le cercle trigonométrique.



4. Équations trigonométriques
Théorème :

Soit $a$ un réel.

Si $\left|{ \text{cos} a}\right|<{1}$, l’équation $ \text{cos} x= \text{cos} a$ a pour ensemble solution $\text{S}= \left \{ a+{2}k \pi \mathrm{;} -a+{2}k' \pi \mathrm{;} k \text{et} k' \in \mathbb{Z} \right \} $

Si $ \text{cos} a={1}$, l’équation $ \text{cos} x= \text{cos} a$ a pour ensemble solution $\text{S}= \left \{ {2}k \pi  \mathrm{;} k  \in   \mathbb{Z} \right \} $

Si $ \text{cos} a=-{1}$, l’équation $ \text{cos} x= \text{cos} a$ a pour ensemble solution $\text{S}= \left \{ \pi+ {2}k \pi  \mathrm{;} k  \in   \mathbb{Z} \right \} $


Démonstration :

Si $\left|{ \text{cos} a}\right|<{1}$, la droite d’équation $x= \text{cos} a$ coupe le cercle trigonométrique en deux points associés à des réels opposés.

Si $ \text{cos} a={1}$, l’unique point du cercle trigonométrique est le point associé au réel 0.

Si $ \text{cos} a=-{1}$ l’unique point du cercle trigonométrique est le point associé au réel $\pi$.


Théorème :

Soit $a$ un réel.

Si $\left|{ \text{sin} a}\right|<{1}$, l’équation $ \text{sin} x= \text{sin} a$ a pour ensemble solution $\text{S}= \left \{ a+{2}k \pi \mathrm{;} \pi -a+{2}k' \pi \mathrm{;} k \text{et} k' \in \mathbb{Z} \right \} $

Si $ \text{sin} a={1}$, l’équation $ \text{sin} x= \text{sin} a$ a pour ensemble solution $\text{S}= \left \{ \frac{\pi}{2} +{2}k \pi  \mathrm{;} k  \in   \mathbb{Z} \right \} $

Si $ \text{sin} a=-{1}$, l’équation $ \text{sin} x= \text{sin} a$ a pour ensemble solution $\text{S}= \left \{ -{\frac{\pi} {2}}+ {2}k \pi  \mathrm{;} k  \in   \mathbb{Z} \right \} $


Démonstration :

Si $\left|{ \text{sin} a}\right|<{1}$, la droite d’équation $y= \text{sin} a$ coupe le cercle trigonométrique en deux points associés à des réels associés.

Si $ \text{sin} a={1}$, l’unique point du cercle trigonométrique est le point associé au réel $\frac{\pi}{2}$.

Si $ \text{sin} a=-{1}$ l’unique point du cercle trigonométrique est le point associé au réel $-{\frac{\pi}{2}}$.




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