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Probabilités - Mathématiques

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Probabilités

jeudi 6 septembre 2018, par David Rodrigues

Probabilités

Rappels

I – Probabilité d’un événement

1. Expérience aléatoire
Définition :

On appelle expérience aléatoire une expérience qui réunit les caractéristiques suivantes :

- on connaît par avance l’ ensemble des issues possibles

- on ne peut ni prévoir ni calculer son résultat


2. Univers d’une expérience aléatoire
Définition :

On appelle univers d’une expérience aléatoire l’ensemble des issues possibles. On le note $\text{Ω}$.


3. Événement et probabilité
Définitions :

Un événement est un sous-ensemble de l’univers $\text{Ω}$.

Un événement élémentaire est un événement réalisé par une seule issue de $\text{Ω}$.

L’événement impossible est un événement réalisé par aucune issue de $\text{Ω}$. On le note $∅$.

L’événement certain est un événement réalisé par toutes les issues de $\text{Ω}$.


Définition :

La probabilité d’un événement est la somme des probabilités des événements élémentaires qui la composent.


4. Loi de probabilité
Définition :

Définir une loi de probabilité sur un univers, c’est attribuer à chaque événement élémentaire un nombre $p$ positif ou nul, appelé probabilité de l’événement élémentaire, de sorte que la somme des probabilités des événements élémentaires de l’univers est 1.


Théorème :

La probabilité de l’événement certain est 1 : $p\left( \text{Ω}\right) ={1}$.

La probabilité de l’événement impossible est 0 : $ p\left( \emptyset\right) ={0}$.


Exercice type :

Indiquer un univers modélisant le lancer de deux dés cubiques et la loi de probabilités qui y est associée.


Les issues du lancer de chaque dé est : $\text{Ω}_{1}= \left \{ {1} \mathrm{;} {2} \mathrm{;} {3} \mathrm{;} {4} \mathrm{;} {5} \mathrm{;} {6} \right \} $ et $\text{Ω}_{2}= \left \{ {1} \mathrm{;} {2} \mathrm{;} {3} \mathrm{;} {4} \mathrm{;} {5} \mathrm{;} {6} \right \} $.

L’univers de l’expérience est composé de 36 issues : $\text{Ω}= \left \{ \left( {1} \mathrm{;} {1}\right) \mathrm{;} \left( {1} \mathrm{;} {2}\right) \mathrm{;} \left( {1} \mathrm{;} {3}\right) \mathrm{;} … \mathrm{;} \left( {6} \mathrm{;} {4}\right) \mathrm{;} \left( {6} \mathrm{;} {5}\right) \mathrm{;} \left( {6} \mathrm{;} {6}\right) \right \} $.

Chaque événement élémentaire est équiprobable : $ p\left( \text{e}\right) =\frac{1}{36}$.


Déterminer le type de chacun de ces événements.

P : la somme des résultats des dés est un nombre pair.

E : la somme des résultats des dés est un nombre entier.

D : la somme des résultats des dés est 12.

I : la somme des résultats des dés est 1.


P est un événement.

E est l’événement certain.

D est un événement élémentaire réalisé par (6 ;6).

I est l’événement impossible.

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