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Probabilités - Mathématiques

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Probabilités

jeudi 6 septembre 2018, par David Rodrigues

Probabilités

Rappels

I – Probabilité d’un événement

1. Expérience aléatoire
Définition :

On appelle expérience aléatoire une expérience qui réunit les caractéristiques suivantes :

- on connaît par avance l’ ensemble des issues possibles

- on ne peut ni prévoir ni calculer son résultat


2. Univers d’une expérience aléatoire
Définition :

On appelle univers d’une expérience aléatoire l’ensemble des issues possibles. On le note $\text{Ω}$.


3. Événement et probabilité
Définitions :

Un événement est un sous-ensemble de l’univers $\text{Ω}$.

Un événement élémentaire est un événement réalisé par une seule issue de $\text{Ω}$.

L’événement impossible est un événement réalisé par aucune issue de $\text{Ω}$. On le note $∅$.

L’événement certain est un événement réalisé par toutes les issues de $\text{Ω}$.


Définition :

La probabilité d’un événement est la somme des probabilités des événements élémentaires qui la composent.


4. Loi de probabilité
Définition :

Définir une loi de probabilité sur un univers, c’est attribuer à chaque événement élémentaire un nombre $p$ positif ou nul, appelé probabilité de l’événement élémentaire, de sorte que la somme des probabilités des événements élémentaires de l’univers est 1.


Théorème :

La probabilité de l’événement certain est 1 : $p\left( \text{Ω}\right) ={1}$.

La probabilité de l’événement impossible est 0 : $ p\left( \emptyset\right) ={0}$.


Exercice type :

Indiquer un univers modélisant le lancer de deux dés cubiques et la loi de probabilités qui y est associée.


Les issues du lancer de chaque dé est : $\text{Ω}_{1}= \left \{ {1} \mathrm{;} {2} \mathrm{;} {3} \mathrm{;} {4} \mathrm{;} {5} \mathrm{;} {6} \right \} $ et $\text{Ω}_{2}= \left \{ {1} \mathrm{;} {2} \mathrm{;} {3} \mathrm{;} {4} \mathrm{;} {5} \mathrm{;} {6} \right \} $.

L’univers de l’expérience est composé de 36 issues : $\text{Ω}= \left \{ \left( {1} \mathrm{;} {1}\right) \mathrm{;} \left( {1} \mathrm{;} {2}\right) \mathrm{;} \left( {1} \mathrm{;} {3}\right) \mathrm{;} … \mathrm{;} \left( {6} \mathrm{;} {4}\right) \mathrm{;} \left( {6} \mathrm{;} {5}\right) \mathrm{;} \left( {6} \mathrm{;} {6}\right) \right \} $.

Chaque événement élémentaire est équiprobable : $ p\left( \text{e}\right) =\frac{1}{36}$.


Déterminer le type de chacun de ces événements.

P : la somme des résultats des dés est un nombre pair.

E : la somme des résultats des dés est un nombre entier.

D : la somme des résultats des dés est 12.

I : la somme des résultats des dés est 1.


P est un événement.

E est l’événement certain.

D est un événement élémentaire réalisé par (6 ;6).

I est l’événement impossible.

Variable aléatoire

II – Variable aléatoire

1. Expérience aléatoire
Définition  :
On considère un univers Ω et sa loi de probabilités.
Un variable aléatoire réelle est une fonction définie sur Ω à valeurs dans R.



Exercice type :

Dans le cas du lancer de deux dés cubiques, on note :
- S la variable aléatoire associée à la somme des résultats des dés
- D la variable aléatoire associée à la différence des résultats des dés.
Déterminer les lois de probabilités de S et de D.


Valeur prise par S 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Probabilité de l’événement $\frac{1}{36}$ $\frac{1}{18}$ $\frac{1}{12}$ $\frac{1}{9}$ $\frac{5}{36}$ $\frac{1}{6}$ $\frac{5}{36}$ $\frac{1}{9}$ $\frac{1}{12}$ $\frac{1}{18}$ $\frac{1}{36}$
Valeur prise par D -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
Probabilité de l’événement $\frac{1}{36}$ $\frac{1}{18}$ $\frac{1}{12}$ $\frac{1}{9}$ $\frac{5}{36}$ $\frac{1}{6}$ $\frac{5}{36}$ $\frac{1}{9}$ $\frac{1}{12}$ $\frac{1}{18}$ $\frac{1}{36}$



2. Espérance d’une variable aléatoire
Définition  :
On considère un univers Ω et une variable aléatoire X qui peut prendre n valeurs
distinctes $x₁ \mathrm{;} x₂ \mathrm{;} x₃ \mathrm{;} … \mathrm{;} x_n$

On appelle espérance de X le nombre : $\text{E}\left( \text{X}\right) =x_{1}p\left( \text{X}=x_{1}\right) +x_{2}p\left( \text{X}=x_{2}\right) +x_{3}p\left( \text{X}=x_{3}\right) +\ldots+x_{n}p\left( \text{X}=x_n\right) $



Théorème (admis) :
On considère une expérience aléatoire que l’on peut répéter indéfiniment sans changer la loi de probabilité (répétitions identiques et indépendantes), et une variable aléatoire X définie sur l’univers associé.
La moyenne des résultats obtenus sur une série de N répétitions tend vers E(X) quand N devient grand.


Exercice type :

Dans l’exemple précédent, déterminer l’espérance de S, de D.



On calcule $ \text{E}\left( \text{S}\right) =\frac{2}{36}+\frac{3}{18}+\frac{4}{12}+\frac{5}{9}+\frac{30}{36}+\frac{7}{6}+\frac{40}{36}+\frac{9}{9}+\frac{10}{12}+\frac{11}{18}+\frac{12}{36} ={7}$.

On calcule $ \text{E}\left( \text{D}\right) ={\frac{-5}{36}}+\frac{-4}{18}+\frac{-3}{12}+\frac{-2}{9}+\frac{-5}{36}+{0}+\frac{5}{36}+\frac{2}{9}+\frac{3}{12}+\frac{4}{18}+\frac{5}{36} ={0}$.



3. Variance et écart-type d’une variable aléatoire
Définitions  :

La variance d’une série statistique est le réel défini par :

$ \text{V}\left( x\right) =\frac{n_{1}\left( x_{1}-\bar{x}\right) ^{2}+n_{2}\left( x_{2}-\bar{x}\right) ^{2}+n_{3}\left( x_{3}-\bar{x}\right) ^{2}+ \ldots +n_p\left( x_p-\bar{x}\right) ^{2}}{\text{N}} ={\frac{1}{\text{N}}}\sum_{}^{}{{n_\text{i}}\left( {x_\text{i}}-\bar{x}\right) ^{2}}$

L’ écart type d’une série statistique le réel défini par $\sigma\left( x\right) = \sqrt {\text{V}\left( x\right) }$


Remarque : La variance est la moyenne des carrés des écarts avec la moyenne.


Propriété  :

On peut calculer la variance en utilisant la formule :

$\text{V}\left( x\right) =\frac{{n_1}{x_1}^{2}+{n_2}{x_2}^{2}+{n_3}{x_3}^{2}+\ldots+{n_p}{x_p}^{2}}{N} -{\bar{x}}^{2}={\frac{1}{\text{N}}}\sum_{}^{}{n_\text{i}}{x_\text{i}}^{2}-{\bar{x}}^{2}$


Propriété  :

On peut calculer la variance en utilisant la formule :

$\text{V}\left( x\right) ={{f_1}{x_1}^{2}+{f_2}{x_2}^{2}+{f_3}{x_3}^{2}+\ldots+{f_p}{x_p}^{2}}-{\bar{x}}^{2}=\sum_{}^{}{f_\text{i}}{x_\text{i}}^{2}-{\bar{x}}^{2}$


Démonstration :

$n_{1}\left( x_{1}-\bar{x}\right) ^{2}=n_{1}\left( x_{1}^{2}-{2}x_{1}{\bar{x}}+{\bar{x}}^{2}\right) =n_{1}x_{1}^{2}-{2}n_{1}x_{1}\bar{x}+{\bar{x}}^{2}$

Alors $\begin{array}{r c l} V\left( x\right)& = & {\frac{1}{\text{N}}}\sum_{}^{}{{n_\text{i}}\left( {x_\text{i}}-\bar{x}\right) ^{2}}\\ & = & {\frac{1}{\text{N}}}\sum_{}^{}{{n_\text{i}}{x_\text{i}}^{2}}-{2}{n_\text{i}}{x_\text{i}} \bar{x}+{\bar{x}}^2\\ & = & {\frac{1}{\text{N}}}\sum_{}^{}{n_\text{i}}{x_\text{i}}^{2}-{\frac{1}{\text{N}}}\sum_{}^{}{{2}{n_\text{i}}{x_\text{i}}{\bar{x}}}+{\frac{1}{\text{N}}}\sum_{}^{}{\bar{x}}^{2}\\ & = & {\frac{1}{\text{N}}}\sum_{}^{}{n_\text{i}}{x_\text{i}}^{2}-2{\bar{x}}^2+{\bar{x}}^{2}\\ & = &{\frac{1}{\text{N}}}\sum_{}^{}{n_\text{i}}{x_\text{i}}^{2}-{\bar{x}}^{2} \end{array}$


4. Transformation affine d’une variable aléatoire
Propriété  :

Soient deux variables aléatoires X et Y définies sur le même univers, telles que $\text{Y}\, =\, a\text{X}\, +\, b$, où $a$ et $b$ sont deux réels.

On a : $\text{E}\left( \text{Y}\right) \, =\, a\text{E}\left( \text{X}\right) \, +\, b$

$\text{V}\left( \text{Y}\right) \, =\, a^{2}\text{V}\left( \text{X}\right) $

$\sigma\left( \text{Y}\right) \, =\, a \sigma\left( \text{X}\right) $


Démonstration :

$\text{E}\left( \text{Y}\right) \, =\, \sum_{}^{}{\left( ax_\text{i}\, +\, b\right) p_\text{i}}\, =\, a \sum_{}^{}{x_\text{i} p_\text{i}}\, +\, b \sum_{}^{}{p_\text{i}}\, =\, a\text{E}\left( \text{X}\right) \, +\, b$

$\begin{array}{r c l} \text{V}\left( \text{Y}\right)& = &\sum_{}^{}{\left( ax_\text{i}+b\right) ^{2} p_\text{i}}-\text{E}^{2}\left( \text{Y}\right)\\ & = & a^{2} \sum_{}^{}{{x_\text{i}}^{2} p_\text{i}}-{2}ab \sum_{}^{}{x_\text{i} p_\text{i}}+b^{2} \sum_{}^{}{p_\text{i}}-\left( a \text{E}\left( \text{X}\right) +b\right) ^{2} \\ & = & a^{2} \sum_{}^{}{x_\text{i} p_\text{i}}-{2}ab\text{E}\left( \text{X}\right) +b^{2}-a^{2} \text{E}\left( \text{X}\right) ^{2}-{2}ab\text{E}\left( \text{X}\right) -b^{2}\\ & = & a^2 V\left( X\right) \end{array}$



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