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Produit Scalaire - Mathématiques

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Produit Scalaire

jeudi 27 septembre 2018, par David Rodrigues

Produit scalaire

Norme

I – Norme d’un vecteur

Définition  :

Soit un vecteur $ \vec {u}$ du plan muni d’un repère normé et un de ses représentants $ \overrightarrow{\text{AB}}$.

On appelle norme de $ \vec {u}$, notée $ \| \vec {u} \| $ la distance $\text{AB}$, exprimée en unités de longueurs.


Théorème  :

Dans un plan orthonormé, on considère deux points $\text{A}\left( x_\text{A}\, \mathrm{;} \, y_\text{A}\right) $ et $\text{B}\left( x_\text{B}\, \mathrm{;} \, y_\text{B}\right) $.

Alors $\left \| \overrightarrow{AB} \right \| = \sqrt {\left( x_\text{B}\, -\, x_\text{A}\right) ^{2}\, +\, \left( y_\text{B}\, -\, y_\text{A}\right) ^{2}}$.


Démonstration :

Avec Pythagore dans le repère orthonormé (voir cours de seconde)



Corollaire  :

Dans un plan orthonormé, on considère un vecteur $ \vec {u} \left(\matrix{x \cr y}\right)$.

Alors $ \left \| \vec {u} \right \| = \sqrt {x^{2}\, +\, y^{2}}$.


Démonstration :

Formule de calcul des coordonnées d’un vecteur (voir cours de seconde)

Produit scalaire

II – Produit scalaire de deux vecteurs

1. Définitions géométriques
Définition 1  :

Soient deux vecteurs du plan $ \vec {u}$ et $ \vec {v}$.

On appelle produit scalaire de $ \vec {u}$ et $ \vec {v}$ le réel noté $ \vec {u}· \vec {v}$ tel que : $ \vec {u}· \vec {v} = \left \| \vec {u} \right \| \times \left \| \vec {v} \right \| \times \text{cos} \left( { \vec {u}, \vec {v}}\right) $.


Définition 2 :

Soient deux vecteurs du plan $ \vec {u}$ et $ \vec {v}$.

On considère leurs représentants d’origine A $ \overrightarrow{\text{AB}}= \vec {u}$ et $ \overrightarrow{\text{AC}}= \vec {v}$.

On note $\text{H}$ le projeté orthogonal de $\text{C}$ sur $\left( \text{AB}\right) $.

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On appelle produit scalaire de $ \vec {u}$ et $ \vec {v}$ le réel noté $ \vec {u}· \vec {v}$ tel que :

  • $ \vec {u}· \vec {v} \, =\, \text{AB} \times \text{AH}$ si $ \overrightarrow{\text{AB}}$ et $ \overrightarrow{\text{AH}}$ ont même sens
  • $ \vec {u}· \vec {v} \, =\, \, -\, \text{AB} \times \text{AH}$ si $ \overrightarrow{\text{AB}}$ et $ \overrightarrow{\text{AH}}$ sont de sens opposé


Démonstration de l’équivalence :

$\text{cos} \left( \overrightarrow{\text{AB}}\, \mathrm{,} \, \overrightarrow{\text{AC}}\right) $ si $ \left( \overrightarrow{\text{AB}},\overrightarrow{\text{AC}}\right) \in \left[\, -\, \frac{\pi}{2}\, \mathrm{;} \, \frac{\pi}{2} \right]$.

$\text{AH}\, =\, -\text{AC} \times \text{cos} \left( \overrightarrow{\text{AB}}\, \mathrm{,} \, \overrightarrow{\text{AC}}\right) $ si $ \left( \overrightarrow{\text{AB}},\overrightarrow{\text{AC}}\right) \notin \left[\, -\, \frac{\pi}{2}\, \mathrm{;} \, \frac{\pi}{2} \right]$.



2. Propriétés géométriques du produit scalaire
Propriété de symétrie :

Pour tous vecteur $ \vec {u}$ et $ \vec {v}$, $ \vec {u}· \vec {v} = \vec {v}· \vec {u}$.


Démonstration :

Avec la définition 1 : $ \text{cos} \left( \vec {u}, \vec {v}\right) \, =\, \text{cos} \left( \vec {v}, \vec {u}\right) $.


Propriété de linéarité scalaire  :

Pour tous vecteurs $ \vec {u}$ et $ \vec {v}$, et tout réel $k$. $ \vec {u}·\left( {k} \vec {v}\right) = {k}\left( \vec {u}· \vec {v}\right) $


Démonstration :

${k} \vec {v}$ est colinéaire à $ \vec {v}$. Donc $\left( \vec {u}\, \mathrm{;} \, \vec {v}\right) =\left( \vec {u}\, \mathrm{;} \, {k} \vec {v}\right) $.


3. Carré scalaire
Définition  :

Soit un vecteur $ \vec {u}$ du plan.

On appelle carré scalaire de $ \vec {u}$ le nombre réel $ \vec {u}· \vec {u} = \left \| {\vec {u}} \right \| ^{2}$. On le note par analogie $ {\vec {u}}^{2}$.


Théorèmes  :

Pour tous vecteurs $ \vec {u}$ et $ \vec {v}$, on a :

$\left( {\vec {u}}\, +\, {\vec {v}}\right) ^{2} = {\vec {u}}^{2} \, +\, {2} \vec {u}· \vec {v} \, +\, {\vec {v}}^{2}$

$\left( \vec {u}\, -\, \vec {v}\right) ^{2}= {\vec {u}}^{2} \, -\, {2} \vec {u}· \vec {v} \, +\, {\vec {v}}^{2}$


Démonstration :

Dans un repère orthonormé $\left( \mathrm{\text}{O} \mathrm{;} \vec {i} \mathrm{,} \vec {j}\right) $, on suppose $ \vec {u}$ colinéaire à $ \vec {i}$.

Alors $ \vec {u}+ \vec {v} \left(\matrix{ \left \| \vec {u} \right \| + \left \| \vec {v} \right \| \cos \left({ \vec {u} , \vec {v}}\right) \cr \left \| \vec {v} \right \| \sin \left({ \vec {u} , \vec {v}}\right)}\right)$.

Donc $ \matrix{ \left \| {\vec {u}}\, +\, {\vec {v}} \right \| ^{2} & \, =\, & \left( \left \| \vec {u} \right \| + \left \| \vec {v} \right \| \text{cos} \left({ \vec {u} , \vec {v}}\right) \right) ^{2} +\left( \left \| \vec {v} \right \| \text{sin} \left({ \vec {u} , \vec {v}}\right) \right) ^{2} \cr \, & \, =\, & \left \| {\vec {u}} \right \| ^{2}\, +\, {2} \left \| {\vec {u}} \right \| \left \| {\vec {v}} \right \| \text{cos} \left( \vec {u}\, \mathrm{,} \, \vec {v}\right) \, +\, \left \| \vec {v} \right \| ^{2} \text{cos}^2 \left( \overrightarrow{u,v}\right) \, +\, \left \| \vec {v} \right \| ^{2} \text{sin}^2 \left( \overrightarrow{u,v}\right) \cr \, & \, =\, & \left \| {\vec {u}} \right \| ^{2}\, +\, {2} {\vec {u}} . {\vec {v}}\, +\, \left \| \vec {v} \right \| ^{2}}$

De même $ \vec {u}- \vec {v} \left(\matrix{ \left \| \vec {u} \right \| - \left \| \vec {v} \right \| \cos \left({ \vec {u} , \vec {v}}\right) \cr -\left \| \vec {v} \right \| \sin \left({ \vec {u} , \vec {v}}\right)}\right)$.

Donc$ \matrix{ \left \| {\vec {u}}\, -\, {\vec {v}} \right \| ^{2} & \, =\, & \left( \left \| \vec {u} \right \| - \left \| \vec {v} \right \| \text{cos} \left({ \vec {u} , \vec {v}}\right) \right) ^{2} +\left( -\left \| \vec {v} \right \| \text{sin} \left({ \vec {u} , \vec {v}}\right) \right) ^{2} \cr \, & \, =\, & \left \| {\vec {u}} \right \| ^{2}\, -\, {2} \left \| {\vec {u}} \right \| \left \| {\vec {v}} \right \| \text{cos} \left( \vec {u}\, \mathrm{,} \, \vec {v}\right) \, +\, \left \| \vec {v} \right \| ^{2} \text{cos}^2 \left( \overrightarrow{u,v}\right) \, +\, \left \| \vec {v} \right \| ^{2} \text{sin}^2 \left( \overrightarrow{u,v}\right) \cr \, & \, =\, & \left \| {\vec {u}} \right \| ^{2}\, -\, {2} {\vec {u}} . {\vec {v}}\, +\, \left \| \vec {v} \right \| ^{2}}$


Définition 3 :

Soient deux vecteurs du plan $ \vec {u}$ et $ \vec {v}$.

On appelle produit scalaire de $ \vec {u}$ et $ \vec {v}$ le réel noté $ \vec {u}· \vec {v}$ tel que :

$ \vec {u}· \vec {v} =\frac{1}{2} \left( \left \| {\vec {u}}\, +\, {\vec {v}} \right \| ^{2}\, -\, \left \| {\vec {u}} \right \| ^{2}\, -\, \left \| {\vec {v}} \right \| ^{2} \right)$ et $ \vec {u}· \vec {v} =\frac{1}{2} \left( \left \| {\vec {u}} \right \| ^{2}\, +\, \left \| {\vec {v}} \right \| ^{2}\, -\, \left \| {\vec {u}}\, -\, {\vec {v}} \right \| ^{2} \right)$



Propriété de linéarité vectorielle :

Pour tous vecteurs $ \vec {u}$ et $ \vec {v}$ et $ \vec {w}$ $ \vec {u}·\left( \vec {v}\, +\, \vec {w}\right) = \vec {u}· \vec {v}\, +\, \vec {u}· \vec {w}$

Démonstration :

Avec la définition 3 : Soient trois vecteurs $ \vec {u} \left(\matrix{a \cr b}\right)$, $ \vec {v} \left(\matrix{c \cr d}\right)$ et $ \vec {w} \left(\matrix{x \cr y}\right)$ et un réel $k$.

$ \vec {u}\left( \overrightarrow{v}\, +\, \vec {w}\right) \, =\, a\left( c\, +\, x\right) \, +\, b\left( d\, +\, y\right) \, =\, ac\, +\, ax\, +\, bd\, +\, by \, =\, ac\, +\, bd\, +\, ax\, +\, by = \vec {u}· \vec {v}\, +\, \vec {u}· \vec {w}$



5. Vecteurs orthogonaux

Définition  :

Soient deux vecteurs $ \vec {u}$ et $ \vec {v}$.

On dit que les vecteurs $ \vec {u}$ et $ \vec {v}$ sont orthogonaux si et seulement si $ \vec {u}· \vec {v}={0}$.


Théorème  :

Soient deux vecteurs $ \vec {u}$ et $ \vec {v}$ non nuls et les droites $\left( d_{1}\right) $ et $\left( d_{2}\right) $ dirigées par ces vecteurs.

$\left( d_{1}\right) \perp \left( d_{2}\right) $ si et seulement si $ \vec {u}· \vec {v}={0}$.


Démonstration :

Si $ \vec {u}· \vec {v} \, =\, {0}$ $\Leftrightarrow$ $ \| \vec {u} \| \, =\, {0}$ ou $ \| \vec {v} \| \, =\, {0}$ ou $\cos\left( \vec {u}\, { \mathrm{,} }\, \vec {v}\right) \, =\, {0}$.

Si les vecteurs sont non nuls, alors $ \left( \vec {u}\, \mathrm{,} \, \vec {v}\right) \, =+-\, \frac{\text{π}}{2}$. D’où la perpendicularité.




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