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Dérivation II - Mathématiques

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Dérivation II

lundi 15 octobre 2018, par David Rodrigues

Dérivation II

Sens de variations

I – Dérivée et sens de variations

1. Signe de la dérivée d’une fonction monotone
Théorème :

Soit une fonction $f$ monotone et dérivable sur un intervalle $\text{I}$.

Si $f$ est croissante sur I, alors, pour tout $x \, \in\, \text{I}$, $f'\left( x\right) \geq {0}$.

Si $f$ est décroissante sur I, alors, pour tout $x \, \in\, \text{I}$, $f'\left( x\right) \leq {0}$.

Si $f$ est constante sur I, alors, pour tout $x \, \in\, \text{I}$, $f'\left( x\right) \, =\, {0}$.


Démonstration :

Soit un réel $a \, \in\, \text{I}$ et un réel $h\, >\, {0}$ tel que $a\, +\, h \, \in\, \text{I}$. On a $a\, +\, h\, >\, a$.

Si $f$ est croissante, alors $f\left( a\, +\, h\right) \, \geq\, f\left( a\right) $ et donc $f'\left( a\right) \geq {0}$.

Si $f$ est décroissante, alors $f\left( a\, +\, h\right) \leq f\left( a\right) $ et donc $f'\left( a\right) \leq {0}$.

Si $f$ est constante, alors $f\left( a\, +\, h\right) \, =\, f\left( a\right) $ et donc $f'\left( a\right) \, =\, {0}$.


2. Sens de variations d’une fonction dérivable
Théorème (admis) :

Soit une fonction $f$ dérivable sur un intervalle $\text{I}$ de son ensemble de définition.

Si pour tout $x \, \in\, \text{I}$, $f'\left( x\right) > {0}$ (éventuellement $f'$ s’annule en un nombre fini de valeurs), alors $f$ est croissante sur I.

Si pour tout $x \, \in\, \text{I}$, $f'\left( x\right) < {0}$ (éventuellement $f'$ s’annule en un nombre fini de valeurs), alors $f$ est décroissante sur I.

Si pour tout $x \, \in\, \text{I}$, $f'\left( x\right) = {0}$, alors $f$ est constante sur I.


Exercice type :

Soit la fonction définie sur $\text{R} / \left \{ \, -\, {2} \right \}$par $f\left( x\right) \, =\, \frac{{3}x^{2}\, +\, {2}x\, -\, {5}}{x\, +\, {2}}$.

Étudier ses variations.




On calcule la dérivée $f'\left( x\right) \, =\, \frac{\, -\, {3}x^{2}\, -\, {2}x\, +\, {5}\, +\, \left( {3} \times {2}x\, +\, {2}\right) \left( x\, +\, {2}\right) }{\left( x\, +\, {2}\right) ^{2}} \, =\, \frac{{3}x^{2}\, +\, {12}x\, +\, {9}}{\left( x\, +\, {2}\right) ^{2}}$.

Le signe de $f'$ est le signe de ${3}x^{2}\, +\, {12}x\, +\, {9}\, =\, {3}\left( x^{2}\, +\, {4}x\, +\, {3}\right) $.

On calcule $\Delta=16-12=2$, puis les racines : $x_1=-2- \sqrt {2}$ et $x_2=-2+ \sqrt {2}$.


On établit le tableau :

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Extrema

II – Extrema locaux d’une fonction

1. Extremum d’une fonction sur un intervalle
Définition  :

Soit une fonction $f$ définie sur un intervalle $\text{I}$ et un réel $x_{0} \, \in\, \text{I}$.

Dire que $f\left( x_{0}\right) $ est un maximum local de $f$ signifie qu’il existe un intervalle ouvert $\text{J}$ contenant $x_{0}$ et inclus dans $\text{I} $ tel que, pour tout $x \, \in \, \text{J}$, $f\left( x\right) \leq f\left( x_{0}\right) $.

Dire que $f\left( x_{0}\right) $ est un minimum local de $f$ signifie qu’il existe un intervalle ouvert $\text{J}$ contenant $x_{0}$ et inclus dans $\text{I} $ tel que, pour tout $x \, \in \, \text{J}$, $f\left( x\right) \geq f\left( x_{0}\right) $.


Exercice type :

Déterminer les extrema locaux de la fonction $f$ définie sur $[\, -\, {2}\, \mathrm{;} \, {4}]$ par la courbe représentative fournie.

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Pour tout réel $x$ de $]{0}\, \mathrm{;} \, {2}[$, $f\left( x\right) \leq {3}$ et $f\left( {1}\right) \, =\, {3}$.

Donc, un maximum local est ${3}$, atteint en $x\, =\, {1}$.

Pour tout réel $x$ de $]{1}\, \mathrm{;} \, {3}[$, $f\left( x\right) \geq {1}$ et $f\left( {2}\right) \, =\, {1}$.

Donc, un minimum local est ${1}$, atteint en $x\, =\, {2}$.

$\, -\, {1}$ est le minimum de $f$ et ${8}$ est le maximum de $f$ sur $[\, -\, {2}\, \mathrm{;} \, {4}]$.

Mais ils ne sont pas des extrema locaux, car on ne peut pas trouver d’intervalle ouvert contenant $\, -\, {2}$ ou ${4}$ sur lesquels cette fonction est définie.


2. Extrema et dérivée nulle
Théorème (admis) :

Soit une fonction $f$ dérivable sur un intervalle ouvert $\text{I}$ de son ensemble de définition et $x_{0} \, \in\, \text{I}$.

Si $f\left( x_{0}\right) $ est un extremum local, alors $f'\left( x_{0}\right) \, =\, {0}$.


Théorème (admis) :

Soit une fonction $f$ dérivable sur un intervalle ouvert $\text{I}$ de son ensemble de définition et $x_{0} \, \in\, \text{I}$.

Si $f'$ s’annule et change de signe en $x_{0}$, alors $f\left( x_{0}\right) $ est un extremum local.



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